Cascos afines y cambio de base

Question

Dejemos que $S$ sea un esquema. Consideramos el functor, llamado casco afín, de la categoría de cuasicompactos y cuasiseparados $S$ -a la categoría de los esquemas afines $S$ -definida como un adjunto a la izquierda del functor de inclusión entre estas dos subcategorías completas de la categoría de $S$ -(véase EGA I.9.1.21). Este functor conmuta con plano cambio de base en un sentido obvio. Mi pregunta, más que nada por pura curiosidad, es hasta qué punto necesitamos la planitud para que esto se mantenga. Más concretamente me gustaría preguntar las dos cosas siguientes:

A. ¿Cuáles son los ejemplos que demuestran que la planitud no puede omitirse en el enunciado anterior?

B. ¿Existen otras condiciones sobre el morfismo de cambio de base bajo las cuales la formación de cascos afines conmuta con el cambio de base?

Answer 1

En primer lugar, creo que el functor del casco afín puede extenderse a la categoría de todos los $S$ -es decir, no sólo los cuasicompactos cuasi separados [ EDITAR esto puede ser cierto, pero el argumento que se da aquí no es correcto tal y como está, véase más adelante]. La suposición qcqs es útil porque asegura que la gavilla $A$ que es el pushforward de la gavilla de estructura es cuasicoherente y entonces se define el casco afín como Spec relativo de $A$ . Sin embargo, en toda la generalidad, existe un submódulo cuasi-coherente mayor de $A$ , igual a la imagen del mapa canónico $\oplus F_i\to A$ donde el $F_i$ son todos los submódulos cuasi-coherentes de $A$ . Llama a este submódulo más grande $A'$ . Es fácil ver que $A'$ tiene una multiplicación inducida, es decir, es una subálgebra. Entonces se ve que el esquema $Spec(A')$ sirve como un casco afín en todos los $S$ -esquemas.

[ EDITAR. De hecho, Fred señala que la imagen de $\oplus F_i\to A$ puede no ser cuasi coherente y en este caso el argumento se rompe. Perdón].

En cuanto a sus preguntas:

A. Partimos de la recta proyectiva sobre el anillo de enteros racionales, y dejamos que $D$ sea una sección de esa línea, es decir, un $\mathbb{Z}$ -punto. Eliminar el punto cerrado $D_2$ de la fibra en $2$ y llamar al resultado $X$ . Sea $S=Spec(\mathbb{Z})$ y $S'=Spec(\mathbb{F}_2)$ . Una función global sobre $X$ restringe a la fibra genérica a una función sobre $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}$ es decir, una constante racional, y se restringe a la línea afín $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}\setminus D$ a un polinomio en $\mathbb{Z}[T]$ , $T$ una coordenada. Así, el anillo de funciones globales sobre $X$ es de hecho $\mathbb{Z}$ . Por otra parte, es evidente que el anillo de funciones globales sobre la fibra especial $X_2$ es un gran anillo polinómico, por lo que la formación del casco afín no conmuta con el cambio de base $S'\to S$ .

B. He aquí un ejemplo sencillo: si $X$ es afín sobre $S$ entonces es igual a su casco afín y esto sigue siendo cierto universalmente, es decir, después de cualquier cambio de base (plana o no).