Una ecuación $A/B=A/C\oplus C/B$ donde A, B y C son el espacio vectorial lineal infinito con campo escalar R

Question

Sean X, Y y Z el espacio vectorial lineal infinito con campo escalar C(número complejo) y $X\supset Z\supset Y$ . ¿Esta ecuación es correcta? $X/Y=X/Z\oplus Z/Y$ donde X/Y es un espacio cociente.

Creo que un espacio vectorial lineal infinito con escalar C es un módulo C izquierdo. Así que por el tercer teorema del isomorfismo, la ecuación se mantiene.

¿Hay algo malo en mi punto de vista?

Answer 1

Desde $\mathbb{C}$ es un campo todos los módulos sobre $\mathbb{C}$ son proyectivas. Por lo tanto, $$ E/F=G \implies E\cong F\oplus G\tag{1} $$ Por el tercer teorema de isomorfismo $$ (X/Y)/(Z/Y)\cong X/Z\tag{2} $$ Componiendo $(1)$ y $(2)$ obtenemos $$ X/Y\cong X/Z\oplus Z/Y $$