Encontrar la solución general de la EDO

Question

Tengo esta ecuación $xy''+y'= -1$ con y(0)=1 e y(1)=0.

Hasta ahora he intentado resolver la ecuación homogénea:

$y(x)=c_1ln(x)+c_2$

pero cuando pruebo las condiciones de contorno no consigo nada.

Answer 1

Observar $-x$ es una solución (que no satisface la condición de contorno); Si añadimos una solución homogénea adecuada, vemos $y=1-x$ es la solución.

Answer 2

$y''+\dfrac1xy'+\dfrac1x=0$

$(y'x)'=y''x+\dfrac1xy'x=(y''+\dfrac1xy')x$

$\dfrac1x (y'x)'+\dfrac1x =0\implies (y'x)'=-1\implies y'x=-c$

$y=-c\log(x)+c'$ pero $\log(0)$ es indefinido, lo que significa que $y=c'=1$ .

Dejemos que $u(x)=ax^2+bx+c, u'(x)=2ax+b,u''(x)=2a\implies u''+\dfrac1xu'+\dfrac1x=4a+\dfrac1x(b+1)$ Si se fija como función cero, se obtiene $a=0, b=-1$ Así que $y=1-x$ es la solución