Reordenación de secuencias con límite $0$

Question

¿Es cierto que toda secuencia real que converge a cero tiene la propiedad de que toda reordenación de la misma también converge a cero?

Tengo una prueba en mente, pero no estoy 100% seguro de que sea correcta (aunque estoy bastante seguro), así que sólo quiero una respuesta de sí/no.

Answer 1

Sí. Una secuencia converge a $0$ si y sólo si todos sus términos, excepto los finitos, son menores que $\epsilon$ en valor absoluto para cualquier $\epsilon > 0$ y esta condición es manifiestamente invariable bajo el reordenamiento.

Answer 2

Yo creo que sí. Dada una secuencia real $\{a_{n}\} \to 0$ y una arbitraria $\epsilon > 0$ tenemos que existe algún $N$ tal que para todo $n > N$ , $|a_{n}| < \epsilon$ . Dicho esto, dejemos que $\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sea una permutación, y considere la secuencia reordenada $\{a_{\sigma(n)}\}$ . Dado que la convergencia de la secuencia inicial implica que todos los elementos de la secuencia, salvo algunos finitos, pueden ser más entonces $\epsilon$ lejos de $0$ después de un número finito $N'$ de términos en esta nueva secuencia reordenada, habremos agotado todos esos casos, y para $n > N'$ tendremos $|a_{\sigma(n)}| < \epsilon$ . Tenga en cuenta que esto funciona con $0$ sustituido por un límite finito arbitrario $L$ .

Nótese que esto falla para las series, como resultado del teorema de reordenamiento de Riemann.

Answer 3

Para ampliar la respuesta de Qiaochu.

Bien, el límite no importa siempre que sea finito - déjame mostrarlo para el caso $\lim x_n = 0$ . Usted sabe que para cualquier $\delta>0$ hay $N(\delta)$ tal que $|x_n|<\delta$ para todos $n>N(\delta).$

Dejemos que $\hat x_n$ sea un reordenamiento de $x_n$ y supongamos que no converge a cero, es decir, que existe $\delta$ tal que para cualquier $m$ hay $n(m)>m$ y tal que $|\hat x_{n(m)}|>\delta$ . Pero eso significa que hay infinitos números de este tipo $n(m)$ por lo que la convergencia de $x_n$ no se sostiene.