Esquema de Hilbert de una vecindad infinitesimal de una subvariedad

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica compleja. Sea $C\subset X$ sea una subvariedad compacta (reducida). Sea $C^{(n)}$ denotan el $n$ vecindad infinitesimal de $C$ dentro de $X$ . Sea $Hilb(X)$ denotan el esquema de Hilbert de $X$ . Así, $C$ define el punto $[C]\in Hilb(X)$ .

En mi situación se puede suponer que $X$ y $C$ son variedades suaves, y además $[C]$ es un punto suave de $Hilb(X)$ .

Me dijeron (aquí Cuestiones básicas sobre el esquema de Hilbert/ espacio de Douady ) que $Hilb(C^{(n)})$ es un subesquema cerrado de $Hilb(X)$ .

Pregunta. ¿Es cierto que el $n$ La vecindad infinitesimal del punto $[C]$ en $Hilb(X)$ es igual a la componente conectada de $Hilb(C^{(n)})$ que contiene $[C]$ como un punto cerrado?

Me interesa especialmente una modificación de esta pregunta cuando $X,C$ son analíticas complejas en lugar de variedades algebraicas; en ese caso el esquema de Hilbert se sustituye por el espacio de Douady.

Las referencias son bienvenidas.

Answer 1

Eso ya falla cuando $n$ es igual a $2$ , $X$ es igual a $\mathbb{P}^3$ y $C$ es una línea en $\mathbb{P}^3$ . Elegir coordenadas homogéneas $[y_0,y_1,y_2,y_3]$ en $\mathbb{P}^3$ para que $C$ es $Z(y_2,y_3)$ . Entonces una vecindad afín $U$ de $[C]$ en $\text{Hilb}(X)$ es el afín $4$ -espacio con coordenadas afines $(a_{2,0},a_{2,1},a_{3,0},a_{3,1})$ asociado al subesquema cerrado $$Z(\widetilde{y}_2,\widetilde{y}_3), \ \ \widetilde{y}_2 := y_2-a_{2,0}y_0-a_{2,1}y_1, \ \ \widetilde{y}_3 := y_3-a_{3,0}y_0-a_{3,1}y_1.$$ El subesquema cerrado $C^{(2)}$ tiene un ideal definitorio homogéneo $\langle y_2^2,y_2y_3,y_3^2\rangle$ . Así, el subesquema cerrado $\text{Hilb}(C^{(2)})\cap U$ de $U$ es el máximo subesquema cerrado tal que cada uno de los elementos $$ y_2^2 = (\widetilde{y}_2+a_{2,0}y_0+a_{2,1}y_1)^2,y_2y_3 = (\widetilde{y}_2+a_{2,0}y_0+a_{2,1}y_1)(\widetilde{y}_3+a_{3,0}y_0+a_{3,1}y_1),y_3^2 =(\widetilde{y}_3+a_{3,0}y_0+a_{3,1}y_1)^2$$ está contenido en el ideal homogéneo $\langle \widetilde{y}_2,\widetilde{y}_3 \rangle.$ Ampliando, este subesquema cerrado tiene un ideal definitorio $$\langle a_{2,0}^2,a_{2,0}a_{2,1},a_{2,1}^2,a_{3,0}^2,a_{3,0}a_{3,1},a_{3,1}^2,a_{2,0}a_{3,0},a_{2,1}a_{3,1},a_{2,0}a_{3,1}+a_{2,1}a_{3,0} \rangle.$$ Este ideal se encuentra dentro del ideal completo $\langle a_{i,j} \rangle^2$ y el cokernel tiene una longitud $1$ . Así, el componente de $[C]$ en $\text{Hilb}(C^{(2)})$ contiene la vecindad de segundo orden de $[C]$ dentro de $\text{Hilb}(X)$ pero la inclusión es estricta.