¿Qué teselación de la esfera produce una densidad constante de vértices?

Question

Una forma de teselar una esfera 3D es mediante la subdivisión iterada de un icosaedro. Me pregunto si este método proporciona una densidad de vértices homogénea en la superficie. A simple vista, parece que sí, y la lógica también indica eso (cada cara tiene la misma área en el icosaedro, y las caras en cada subdivisión se crean de igual área), pero ¿hay algún sesgo del que no me estoy dando cuenta?

De lo contrario, ¿qué método de teselación puede proporcionar una densidad constante de vértices?

Answer 1

Hay varias formas posibles de definir la "densidad en una esfera", cada una de las cuales da resultados algo diferentes.

Desafortunadamente, la mayoría de ellas tienen algún "número máximo de vértices" que dan exactamente igual densidad. Por encima de ese número máximo, una mayor teselación puede, en el mejor de los casos, aproximar la densidad constante. (Esa aproximación es más que adecuada para muchos propósitos).

"Desafortunadamente, es un resultado bien conocido en teoría de grupos que no hay distribuciones de puntos completamente regulares en la esfera para N > 20." -- Max Tegmark

Igual densidad como áreas iguales de los triángulos formados por los vértices: Puedes teselar una esfera para dar una esfera geodésica de manera que cada triángulo tenga exactamente la misma área, hasta cualquier resolución deseada, usando cualquier proyección de área igual como la proyección de área igual de Snyder. (Unas pocas personas usan rejillas geodésicas basadas en este principio).

Igual densidad como triángulos congruentes formados por los vértices: Cuando una persona construye una cúpula geodésica con paneles, sería súper conveniente si cada panel fuera exactamente del mismo tamaño y forma. Desafortunadamente, el "tamaño" máximo son las 120 caras idénticas del hexakis icosaedro (también conocido como disco decatricontahedro). Cualquier sólido convexo con más de 120 caras necesariamente debe tener 2 o más tipos de caras.

Igual densidad como configuraciones de mínima energía de partículas cargadas: Configuraciones de Mínima Energía de Electrones en una Esfera. Puedes poner cualquier número entero de partículas repelentes en una esfera, y calcular alguna configuración de mínima energía.

Igual densidad como igual distancia de cada vértice a los N vértices cercanos: Cuando una persona construye una cúpula geodésica con tirantes, sería súper conveniente si todos los tirantes fueran del mismo largo. La mayoría de los métodos "ingenuos" de dividir los grandes triángulos del icosaedro en triángulos más pequeños generan muchas longitudes de aristas diferentes; pero hay formas de "ajustar" la subdivisión de la teselación para minimizar el número de longitudes de aristas diferentes. (Un menor número de longitudes únicas requiere menos accesorios en la fabricación y menos repuestos necesarios para reemplazar cualquier tirante dañado). Desafortunadamente, el "tamaño" máximo de un poliedro estrictamente convexo hecho enteramente de triángulos equiláteros (delta-hedro convexo) son los 30 bordes del icosaedro. (Podrías intentar hacer el dodecaedro pentakis con 60 triángulos equiláteros, dando 90 aristas de igual longitud, pero luego sería ligeramente cóncavo). Cualquier sólido estrictamente convexo hecho de triángulos con más de 30 aristas necesariamente debe tener 2 o más longitudes de aristas.

Algunas notas adicionales sobre la aproximación a la esfera.

Answer 2

Ve los enlaces a continuación. No se trata de teselación, sino de distribuir puntos de manera uniforme en una esfera (de la cual puedes extraer una teselación):

• Distribuir puntos en una esfera

• Distribuir muchos puntos en una esfera

• Tablas de Códigos Esféricos con Simetría Icosahedral

• Herramienta de Partición de Esfera en Zonas de Área Igual Recursiva

• Preguntas frecuentes sobre esferas

• Distribuir de manera uniforme n puntos en una esfera

Answer 3

He recibido mi respuesta de uno de los enlaces (http://www.math.vanderbilt.edu/~esaff/texts/161.pdf) proporcionado por lhf, en el último párrafo de la página 9 y primero de la página 10:

Además, no están distribuidos asintóticamente de forma uniforme. Para ver esto, es suficiente observar que después del primer paso, los puntos están centrados en 80 triángulos esféricos que no tienen todas la misma área (el proceso de proyección aumenta las áreas de los "triángulos centrales" más que el resto). A medida que los pasos posteriores en el proceso producen el mismo número de puntos en cada uno de los 80 triángulos, la distribución uniforme asintótica no puede mantenerse

¡Gracias por el enlace!