Una forma de teselar una esfera 3D es mediante la subdivisión iterada de un icosaedro. Me pregunto si este método proporciona una densidad superficial homogénea de vértices. A simple vista, parece que sí, y la lógica también lo indica (cada cara tiene el mismo son en el icosaedro, y las caras en cada subdivisión se crean de igual área), pero ¿hay algún sesgo en el que no estoy pensando?
De lo contrario, ¿qué método de teselación puede producir una densidad constante de vértices?
Hay varias formas posibles de definir la "densidad en una esfera", cada una de las cuales da resultados algo diferentes.
Por desgracia, la mayoría de ellos tienen un "número máximo de vértices" que dan exactamente la misma densidad. Por encima de ese número máximo, la teselación posterior puede, en el mejor de los casos aproximado densidad constante. (Esa aproximación es más que adecuada para muchos propósitos).
"Desgraciadamente, es un resultado teórico de grupos bien conocido que no hay distribuciones de puntos completamente regulares en la esfera para N > 20". -- Max Tegmark
Igual densidad como áreas iguales de los triángulos formados por los vértices: Se puede teselar una esfera para obtener una esfera geodésica en la que cada triángulo tenga exactamente la misma área, con la resolución que se desee, utilizando cualquier proyección de áreas iguales, como la proyección de áreas iguales de Snyder. (Algunas personas utilizan rejillas geodésicas basado en este principio).
Igual densidad como triángulos congruentes formados por los vértices: Cuando una persona construye una cúpula geodésica a base de paneles, sería muy conveniente que cada panel tuviera el mismo tamaño y forma. Por desgracia, el "tamaño" máximo son las 120 caras idénticas del icosaedro hexakis (también conocido como triacontaedro disdyakis). Cualquier sólido convexo con más de 120 caras debe tener necesariamente dos o más tipos de caras.
La misma densidad como configuraciones de energía mínima de las partículas cargadas: Configuraciones de energía mínima de los electrones en una esfera . Puedes poner cualquier número entero de partículas que se repelen en una esfera, y calcular alguna configuración de energía mínima.
La misma densidad es la misma distancia de cada vértice a los N vértices cercanos: Cuando una persona construye una cúpula geodésica a base de puntales, sería superconveniente que todos los puntales tuvieran la misma longitud. La mayoría de los métodos "ingenuos" para dividir los grandes triángulos del icosaedro en triángulos más pequeños generan muchas longitudes de aristas diferentes; pero hay formas de "ajustar" la subdivisión del teselado para minimizar el número de longitudes diferentes de aristas. (Menos longitudes únicas requiere menos plantillas en la fabricación y menos repuestos necesarios para sustituir cualquier puntal dañado). Por desgracia, el "tamaño" máximo de un poliedro estrictamente convexo hecho enteramente de triángulos equiláteros (deltaedro convexo) son las 30 aristas del icosaedro. (Se podría intentar hacer el dodecaedro de pentakis con 60 triángulos equiláteros, dando 90 aristas de igual longitud, pero entonces sería ligeramente cóncavo). Cualquier sólido estrictamente convexo formado por triángulos con más de 30 aristas debe tener necesariamente 2 o más longitudes de aristas.
Algunos más notas sobre la aproximación de esferas .
La respuesta la he obtenido de uno de los enlaces (http://www.math.vanderbilt.edu/~esaff/texts/161.pdf) que da lhf, en el último párrafo de la página 9 y el primero de la 10:
Además, no son distribuidos uniformemente de forma asintótica. Para ver esto, basta con observar que después del primer paso, los puntos están centrados en 80 triángulos esféricos que no tienen todos la misma superficie (el proceso de proyección aumenta las áreas de los "triángulos centrales" más que el resto). A medida que los pasos en el proceso producen el mismo número de puntos en cada uno de los 80 triángulos, la distribución uniforme asintótica asintótica no se puede mantener
Gracias por el enlace.
Ten en cuenta que hay otra forma de teselar a partir del icosaedro, que es lo que creía que estabas sugiriendo. En lugar de dividir cada triángulo equilátero en cuatro, se podría encontrar el centroide de cada triángulo y proyectarlo hacia la esfera. Entonces todos los triángulos son congruentes. Pero ya no son equiláteros, y los pasos siguientes se distorsionan considerablemente.
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¿Se refiere a la esfera redonda bidimensional, como incrustada en el espacio tridimensional? Otra pregunta: ¿cuál es la definición de "densidad superficial"? Gracias.
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Mi pregunta es: si veo los vértices de la teselación como un conjunto de puntos en la esfera 3D, ¿cómo se distribuyen estos puntos en la superficie de la esfera?
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Tal vez sea de interés: "Recursive Zonal Equal Area Sphere Partitioning Toolbox", eqsp.sourceforge.net
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Para obtener información sobre los tilings simétricos de la esfera se puede consultar el libro de Conway, Burgiel y Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A.K. Peters, 2008.