¿Cómo se demuestra este teorema de composición de límites?

Question

Si $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(x)=l$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow l}g(x)=L$$ y $f(x) \neq l$ en algún punto de c,

entonces $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(f(x))=L$ .

Obsérvese que las dos primeras condiciones son insuficientes para que se cumpla la conclusión. (Para un ejemplo claro, véase el primer comentario de ¿Hay algún contraejemplo mejor? (problema de límite de composición de funciones) .) Pero si se cumplen las tres condiciones, se puede llegar a la conclusión.

Esto se debe a que la tercera condición garantiza que cerca de $c$ , $gf$ no será forzado para tomar el valor de $g$ en $l$ . Es decir $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}gf(x)$ será igual a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow l}g(x)$ en lugar de ser necesariamente igual a $g(l)$ . (Tenga en cuenta que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow l}g(x)=g(l)$ si. $g$ es continua en $l$ .)

Esa es mi explicación informal del teorema. Pero tengo dificultades para escribir una prueba adecuada. Por favor, utilice la definición secuencial de los límites (en lugar de épsilon-delta), si es necesario.

Answer 1

Recuerda que $\lim_{x\to c}f(x)=L$ si para cada secuencia $\{x_n\}_{n\in\omega}$ tal que $\lim_{n\to \infty}x_n =c$ y $x_n\neq c$ para todos $n$ suficientemente grande (es decir, hay algún $N\in \omega$ tal que para todo $n\geq N$ , $x_n\neq c$ ) tenemos $\lim_{n\to \infty}f(x_n)=L$ . Esa es la definición secuencial de límite, nótese cómo la secuencia tiene que ser diferente del punto al que se aproxima para valores grandes de $n$ es decir, tiene que aproximarse sin llegar al punto -que es la idea natural de una secuencia que se aproxima a un punto-.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que dada cualquier secuencia $\{x_n\}_{n\in\omega}$ tal que $\lim_{n\to \infty}x_n =c$ y hay algo de $N\in \omega$ entonces $$\lim_{n\to\infty}g(f(x_n))=L$$ .

Por lo tanto, dejemos que $\{x_n\}_{n\in\omega}$ sea cualquier secuencia que se aproxime a $c$ de la manera mencionada. Tenemos que $\{f(x_n)\}_{n\in\omega}$ es una secuencia que se aproxima a $l$ es decir, con $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$$ por la definición de límite. Aquí es donde la tercera hipótesis es esencial. Sea $U$ sea una vecindad de $c$ de tal manera que cuando se pincha $f$ no toma el valor $l$ es decir, para todos los $x\in U-\{c\}$ , $f(x)\neq l$ . Desde $\{x_n\}$ converge $c$ Hay un poco de $M\in \omega$ tal que para todo $n\geq M$ , $x_n\in U$ .

Dejemos que $A=\max\{N,M\}$ , entonces para todos los $n\geq A$ , $x_n\in U$ porque $n\geq M$ y $x_n\neq c$ porque $n\geq N$ es decir $x_n\in U-\{c\}$ . Así, para todos los $n\geq A$ , $f(x_n)\neq l$ y, por tanto, por la definición de límite, $$\lim_{n\to \infty}g(f(x_n))=L$$ desde $\{f(x_n)\}_{n\in \omega}$ verifica que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$ y que para todos $n\geq A$ , $f(x_n)\neq l$ . Esto completa la prueba.

((Por petición.) Para que quede claro, ya que sabemos $$\lim_{x\to l}g(x)=L\text{,}$$ podemos garantizar (gracias a la definición secuencial de límite) que para toda secuencia $\{y_n\}_{n\in\omega}$ tal que $\lim_{n\to\infty}y_n=l$ y tal que hay algún $C\in\omega$ con la propiedad de que para todo $n\geq C$ , $y_n\neq l$ tenemos que $$\lim_{n\to \infty}g(y_n)=L$$ Ahora, dejemos que $\{y_n\}_{n\in\omega}$ sea dada por $y_n=f(x_n)$ entonces hemos demostrado que tiene las propiedades deseadas y por lo tanto $\lim_{n\to \infty}g(y_n)=L$ es decir $$\lim_{n\to \infty}g(f(x_n))=L$$ al sustituir $y_n$ por su valor $f(x_n)$ .) Vean cómo lo esencial era que desde $f$ no toma el valor $l$ en una vecindad perforada de $c$ podemos garantizar que la secuencia $\{f(x_n)\}$ tiene la propiedad deseada, es decir, que es diferente de $l$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .