Prueba : Teorema de Bolzano Weierstrass

Question

Como parte de la prueba completa que dio el profesor, demostró esta implicación:

Dejemos que $ A \subset \mathbb{R}$ y cada secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ en A tiene al menos un punto de acumulación en A.

Eso implica que A es acotado y cerrado.

La prueba que dio ( sólo la parte donde demuestra, que A está acotado) :

A está acotado: Supongamos ( para una prueba por contradicción ) que A es no está acotado. Entonces:

$$ \exists (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in A : |a_n - a| \geq n \; > \forall n \in \mathbb{N} ( a \in A ) $$

Sabemos que toda secuencia en A tiene un punto de acumulación en A, lo llamaremos lo llamaremos x, entonces se deduce:

$$ |x-a| \geq |a_n-a| - |a_n-x| \geq n - |x-a_n| $$

Esto significa que $|x-a_n| < 1$ para un número infinito de $n \in \mathbb{N}$ ( esto se deduce de la definición de punto de acumulación )

$$ \rightarrow |x-a| \geq n-1 $$

para una cantidad infinita de $ n \in \mathbb{N}$ lo cual es una contradicción.

q.e.d.

Justo al principio, ¿por qué el hecho de que A no esté acotado implica que existe una secuencia en la que la distancia entre un miembro de la secuencia y el punto de acumulación es mayor que todos los números reales? ¿O estoy leyendo mal?

Answer 1

Esta parece ser la prueba de que $A$ está acotado. Que $A$ es cerrado es trivial bajo la compacidad secuencial. Una secuencia convergente en $A$ sólo tiene un punto de acumulación, su límite, y que tiene por supuesto que ser un elemento de $A$ .

$A$ está acotado si $A\subset B(a,n)$ para algunos $a$ y $n\in\Bbb N$ . La contraposición es que $A$ tiene elementos fuera de cada bola $B(a,n)$ seleccione uno y llámelo $a_n$ . Entonces con el punto límite $x$ de $(a_n)_n$ se obtiene, como se ha dicho, que para infinitos $n\in\Bbb N$ se obtiene $|x-a_n|<1$ . Entonces, por la desigualdad del triángulo $$ n\le|a-a_n|\le|a-x|+|x-a_n| <|a-x|+1 $$ y esto sólo puede ser cierto para un número finito de $n\in\Bbb N$ lo que está en contradicción con que sea cierto para infinitos.

Answer 2

La primera línea mostrada en la prueba no tiene sentido tal y como está escrita: $\forall n\in\Bbb N\,(a\in A)$ es una declaración, no un número, por lo que $n>\forall n\in\Bbb N\,(a\in A)$ no tiene sentido. La notación $(a_n)_{n\in\Bbb N}\in A$ también es incorrecto: cada uno de los puntos $a_n$ es un elemento de $A$ pero la secuencia en sí no lo es. Esto parece ser un intento muy torpe de decir lo siguiente:

Hay un punto $a\in A$ y una secuencia $\langle a_n:n\in\Bbb N\rangle$ en $A$ tal que $|a_n-a|\ge n$ siempre que $n\in\Bbb N$ .

Si uno insiste en escribir esto con cuantificadores, es

$$\exists a\in A\,\forall n\in\Bbb N\,\exists a_n\in A\,\big(|a_n-a|\ge n\big)\;.$$

Supongamos que $A$ está acotado. Entonces, por definición, existe un $n\in\Bbb N$ tal que $|a|<n$ para cada $a\in A$ . Arreglar algunos $a\in A$ y, a continuación, para cada $a'\in A$ tenemos

$$|a'-a|\le |a'|+|a|<2n\;.$$

Por el contrario, si hay un $a\in A$ tal que $|a'-a|<n$ para algunos $n\in\Bbb N$ entonces

$$|a'|=|(a'-a)+a|\le |a'-a|+|a|<n+|a|\;,$$

así que $|a'|<m$ para cada $a'\in A$ , donde $m$ es el número entero $n+\lceil|a|\rceil$ . Esto demuestra que $A$ está acotado si y sólo si hay un $a\in A$ y un número entero $n$ tal que $|a'-a|<n$ para cada $a'\in A$ .

Ahora niega eso: $A$ us un acotado si y sólo si para cada $a\in A$ y $n\in\Bbb N$ hay un $a'\in A$ tal que $|a'-a|\ge n$ . En particular, si $A$ no tiene límites, podemos elegir cualquier $a\in A$ y tenga la seguridad de que para cada $n\in\Bbb N$ hay un $a_n\in A$ tal que $|a_n-a|\ge n$ . Eso nos da la secuencia $\langle a_n:n\in\Bbb N\rangle$ .

El resto del argumento también necesita una pequeña reparación. Sabemos que la secuencia tiene un punto de acumulación $x$ y podemos concluir que $|x-a|\ge n-|x-a_n|$ para cada $n\in\Bbb N$ . Sin embargo, es incorrecto decir que este significa que $|x-a_n|<1$ para un número infinito de $n\in\Bbb N$ : esta desigualdad no tiene nada que ver con ese hecho. Hay infinitas $n\in\Bbb N$ tal que $|x-a_n|<1$ porque $x$ es un punto de acumulación de la secuencia. Esto significa que hay infinitas $n\in\Bbb N$ tal que

$$|x-a|\ge n-|x-a_n|>n-1\;,$$

lo cual es imposible, ya que $|x-a|$ es finito.