¿Es posible que un punto límite de un conjunto sea un punto límite con respecto a otros conjuntos múltiples, en el sentido de que cualquier vecindad de un punto de A contenga puntos de AMBOS conjuntos, B y C? Si es así, ¿puede darme un ejemplo? Si es así, ¿se da el caso de que todo un conjunto límite puede ser un límite de A tanto con B como con C? Si es así, ¿cuáles son las reglas que rigen los conjuntos cerrados y abiertos? Si es así, ¿hay alguna relación necesaria implícita entre B y C?
Respuestas
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jasonjwwilliams
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Un ejemplo bastante famoso es el Lagos de Wada .
Los lagos de Wada son 3 subconjuntos abiertos disjuntos de $\mathbb{R}^2$ con la propiedad de que todos tienen el mismo límite. Además, según el artículo de la wikipedia, una construcción similar da lugar a un número contable de conjuntos abiertos disjuntos que tienen la misma frontera.
Así que quieres $\partial(A)\subseteq \partial(B)\cap\partial(C)$ ?
Sí, es posible, incluso con (aunque esto no se especificó) $A$ , $B$ y $C$ distintos por pares.
Por ejemplo, tome $X$ para ser la línea real con la topología habitual, $A=[0,1]$ , $B=(-1,0)\cup (1,2)$ , $C=(0,1)$ . Entonces $\partial(A)=\partial(C)\subseteq \partial(C)$ .
No estoy seguro de lo que significa "cuáles son las reglas que rigen los conjuntos cerrados y abiertos": las reglas habituales, supongo: un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es cerrado, los conjuntos abiertos deben incluir $\varnothing$ El conjunto es cerrado bajo intersecciones de pares y bajo uniones arbitrarias.
No creo que haya ninguna relación implícita entre $B$ y $C$ . Arriba puedes ver un ejemplo en el que $B\cap C=\varnothing$ . Sustituir $C$ con $(-\frac{1}{2},0)\cup (\frac{1}{2},1)$ para un ejemplo en el que $B\cap C\neq\varnothing$ pero no tienes ni lo uno ni lo otro $B\subseteq C$ ni $C\subseteq B$ . Y por supuesto, si $B$ y $C$ funcionan, entonces también lo hacen $X-B$ y $C$ , $B$ y $X-C$ y $X-B$ y $X-C$ (ya que el límite de un conjunto es igual al límite de su complemento).
Old John
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En la línea real, podría considerar los conjuntos $\mathbb{Q}$ junto con $\{a+\sqrt{2} : a\in\mathbb{Q}\}$ y $\{a+\sqrt{3} : a\in\mathbb{Q}\}$ .
Son disjuntos y cada uno tiene como límite $\mathbb{R}$ . Aunque no están abiertas ni cerradas, parecen satisfacer las condiciones de la primera parte de su pregunta.
