Valores esperados de la posición en la mecánica cuántica

Question

En la mecánica cuántica, podemos demostrar que $$ \langle r \rangle^{-1} \neq \langle r^{-1} \rangle $$

Puedo entenderlo matemáticamente ya que las integrales son diferentes pero ¿alguien puede explicar físicamente - en el contexto de la mecánica cuántica y su interpretación - ¿por qué esto es así?

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con la QM per se, simplemente viene de la definición del valor de la expectativa y del hecho de que el operador de la expectativa no conmuta con una función arbitraria de una variable aleatoria.

Para justificarlo, considere que el valor de la expectativa es el valor medio que esperaríamos ver después de muchos ensayos. El valor medio también tiene la propiedad de no conmutar con una función de una variable aleatoria, por ejemplo:

Digamos que realizamos un experimento 100 veces y 50 veces obtenemos el resultado "1", 25 veces obtenemos el resultado "5" y 25 veces obtenemos el resultado "10". El valor medio es 4,75 (cuyo recíproco es ~0,235).

Supongamos que realizamos un experimento 100 veces y 50 veces obtenemos el resultado "1", 25 veces obtenemos el resultado "0,2" y 25 veces obtenemos el resultado "0,1". El valor medio es 0,575.

Answer 2

Parece que vale la pena mencionar que la desigualdad

$$\langle r\rangle ~\langle\frac{1}{r}\rangle ~>~1$$

se desprende directamente de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz

$$|| \sqrt{r}\psi ||~ || \frac{1}{\sqrt{r}}\psi ||~>~ || \psi ||^2~=~1$$

cuando las dos funciones $\sqrt{r}\psi $ y $\frac{1}{\sqrt{r}}\psi$ no son proporcionales. Aquí hemos utilizado el hecho de que un valor de expectativa

$$\langle f\rangle~=~\int_{\mathbb{R}^3}\! d^3r~f|\psi|^2=||\sqrt{f} \psi ||^2$$

de una función no negativa $f$ está relacionado con el 2-normas $$ || \psi ||~:=~\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}\! d^3r~|\psi|^2} . $$

Answer 3

Para la media $\langle r \rangle$ la función $r$ se hace grande para los grandes $r$ y, por lo tanto, muestrea de forma más dominante la distribución sobre la que se hace la media a grandes distancias. Para el promedio $\langle r^{-1} \rangle$ la función da su mayor contribución a pequeños $r$ y, por lo tanto, muestrea de forma dominante la distribución en distancias pequeñas. Por lo tanto, dependiendo de la distribución sobre la que se promedie esto no es lo mismo.

Answer 4

Como ha indicado correctamente @John Davis, se trata de un problema estadístico, sin embargo se puede intentar conectar un poco más con la física.

Imagina un potencial central (átomo de hidrógeno) : $V(r) = -\dfrac{\gamma}{r}$

Entonces, tu pregunta equivale a preguntar por qué la siguiente igualdad no es cierta :

$\langle V(r) \rangle \langle r \rangle = - \gamma = \langle V(r) \, r\rangle $

Evidentemente, esta igualdad sólo es (obviamente) cierta para una partícula clásica (determinista), pero es falsa para toda teoría estadística, incluida la mecánica cuántica (excepto si $V$ es una constante).

Answer 5

La transformación ( $r^{-1}$ ) de una variable aleatoria $r$ es no lineal, por lo que da resultados diferentes al tomar la expectativa de la transformación y la transformación de la expectativa. En otras palabras, las operaciones no son conmutables.

Se supone que el principio de correspondencia (o el teorema de Ehrenfest de los valores medios) es para los mismos observables y combinaciones lineales de ellos.

Matemáticamente (en el cálculo de la probabilidad) la transformación de este tipo debe tener en cuenta los ceros de la variable/operador, etc.