Los conjuntos $\{f \in C(X) : |g-f| \leq u \}$ donde $g\in C(X)$ , $u$ una unidad positiva de $C(X)$ forman una base para alguna topología en $C(X)$ . Sea $X = \mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Con la topología anterior, ¿cómo demuestro que el mapa de identidad $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ está en el cierre de $O'$ , donde $O'$ es el conjunto de todas las funciones continuas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ desapareciendo en una vecindad de $0$ ? (Evidentemente, $O'$ es un $z$ -ideal).
Respuesta
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HappyEngineer
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Definir un continuo $g$ tal que $g(x)=0$ para $|x|\leq\frac{1}{2}$ y $g(x)=1$ para $|x|\geq 1$ y $0\leq g(x)\leq 1$ para todos $x$ .
Definir para cualquier $u>0$ , $$f_u(x) = xg(\frac{2x}{u})$$ Demuestre que esto tiene la propiedad de que $f_u(x)\in O'$ y, para todos $x$ , $|f_u(x)-x| < u$ .
Si asume $u(x)\in C(X)$ es una función estrictamente positiva, se puede hacer lo mismo definiendo
$f_u(x) = xg\left(\frac{2x}{u(x)}\right)$ .
Sólo es un poco más complicado demostrar que esto $f_u\in O'$ .
