Estoy tratando de encontrar el intervalo de convergencia de esta serie: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^n(z+2i)^n}{4^n+3^ni}$$ y debo dibujar un gráfico que represente la respuesta, esto es lo que tengo hasta ahora: Usando la prueba de la raíz $$ \sqrt[n]{\left|\frac{7^n(z+2i)^n}{4^n+3^ni}\right|} = \left|\frac{7(z+2i)}{4}\right|<1$$ $$|(z+2i)|<\frac{4}{7}, \quad z=x+iy$$ $$|(x+i(y+2))|<\frac{4}{7}$$
Respuesta
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Vas por buen camino, pero hay que mencionar algunas cosas.
En primer lugar, si la serie incluye números complejos, entonces lo que se busca es el disco de convergencia, no el intervalo. Segundo, tu notación es muy inapropiada. Cuando aplicas la prueba de la raíz, la estás aplicando a $a_n$ sólo. Incluir el símbolo de la suma es incorrecto. En tercer lugar, tu primera igualdad (tal y como aparece en el momento en que escribo esto) es técnicamente incorrecta, incluso sin el símbolo de la suma. El $n$ raíz del denominador se acerca a 4 como $n \to +\infty$ . Esto es diferente a decir que el $n$ La raíz del denominador es simplemente igual a 4. Un detalle sutil pero importante. En realidad, si se sustituye $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}$ con $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}$ entonces esa igualdad será correcta.
La prueba de la raíz puede funcionar, pero la prueba de la proporción puede ser mejor, y tenga en cuenta que mi segundo punto anterior también se aplica a la prueba de la proporción.
$$ a_n = \frac{7^n(z+2i)^n}{4^n + 3^ni}, $$ Así que entonces $$ a_{n+1} = \frac{7^{n+1}(z+2i)^{n+1}}{4^{n+1} + 3^{n+1}i} = \frac{7^n(z+2i)^n \cdot 7(z+2i)}{4^{n+1} + 3^{n+1}i}, $$ y tenemos $$ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{7^n(z+2i)^n \cdot 7(z+2i)}{4^{n+1} + 3^{n+1}i} \cdot \frac{4^n + 3^ni}{7^n(z+2i)^n}\right| = 7|z+2i| \cdot \frac{\left|4^n + 3^ni\right|}{\left|4^{n+1} + 3^{n+1}i\right|} $$ Ahora aplica el hecho de que $|x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2}$ al numerador y al denominador, y tomar el límite como $n \to +\infty$ para acabar con el mismo resultado que tú.
Y de nuevo, estás buscando un disco no un intervalo. Y (el interior de) su disco está dado por $|z + 2i| < 4/7$ . Como mencionó Iván, asegúrese de comprobar también el límite.
