problema que implica una gaussiana bivariante

Question

Necesito ayuda con este ejercicio, he intentado hacerlo pero mis cálculos parecen no ir a ninguna parte, cualquier ayuda o pista puede ser muy útil

Answer 1

$\newcommand{\var}{\operatorname{var}} \newcommand{\cov}{\operatorname{cov}}$

Para que sean independientes deben estar descorrelacionados, es decir, la covarianza debe ser $0$ . Voy a utilizar las mayúsculas $X,Y,U,V$ para referirse a las variables aleatorias. Tenemos $$\var(X) = \sigma_X^2, \quad\var(Y) = \sigma_Y^2, \quad \cov(X,Y) = \rho\sigma_X\sigma_Y.$$ Entonces $$\begin{align} & \cov(U,V) \\[8pt] ={} & \cov(\ (\cos\theta) X -(\sin\theta)Y,\ (\sin\theta)X+(\cos\theta)Y\ ) \\[8pt] = {} & (\cos\theta)\cov(\ X,\ (\sin\theta)X+(\cos\theta)Y\ ) - (\sin\theta)\cov(\ Y,\ (\sin\theta)X + (\cos\theta)Y\ ) \\[8pt] = {} & (\cos\theta\sin\theta)\var(X) +(\cos^2\theta)\cov(X,Y)-(\sin^2\theta)\cov(Y,X) - (\sin\theta\cos\theta)\var(Y) \\[8pt] = & (\cos\theta\sin\theta)(\sigma^2_X-\sigma^2_Y) + (\cos^2\theta-\sin^2\theta)\rho\sigma_X\sigma_Y. \end{align}$$ ¿Qué debe $\theta$ sea para que esta última cantidad sea $0$ ?

Recordemos que $2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)$ y $\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos(2\theta)$ . Así que necesitamos $$\frac 1 2 \sin(2\theta) (\sigma^2_X-\sigma^2_Y) + (\cos(2\theta)) \rho\sigma_X \sigma_Y = 0.$$ $$\sin(2\theta) (\sigma^2_X-\sigma^2_Y) = -2 (\cos(2\theta)) \rho\sigma_X \sigma_Y$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\sigma_X \sigma_Y}{\sigma_Y^2 - \sigma_X^2}$$

$$\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} =\tan(2\theta) = \frac{2\sigma_X \sigma_Y}{\sigma_Y^2 - \sigma_X^2} = \frac{2\left(\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)}{1 - \left(\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)^2}$$

Así que necesitamos $\tan\theta=\dfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}$ Así que $\theta=\arctan\dfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}$ .