Déjalo: $$a_1=\sqrt{a}$$ $$a_{n+1}=\sqrt{a+\sqrt{a_n}}, \;\;\; n \in \mathbb{N}, a \geq 2$$
1.Demuestre que $a(a-1)>0$ , $a \geq 2$ .
2.Demostrar que $\sqrt{a}<a$ , $a \geq 2$ .
3.Supongamos que $a_n<a$ . Demostrar que $a_{n+1}<\sqrt{2a}$ .
4.Demuestre que $a_{n+1}<a$
5.Por los pasos anteriores, demuestre que $a_n<a, \forall n \geq 1$ y $a \geq 2$ .
He entendido que se trata de una pregunta de inducción finita. Mis pensamientos son:
Para el punto 1, he pensado en demostrarlo por inducción, ya que tenemos: $$a(a-1)=2(2-1)=2 > 0$$ para un paso de base, suponiendo que para $a$ es válido, lo hemos hecho: $$(a+1)[(a+1)-1]=a(a+1)>a(a-1)>0 \qquad (\text{because }a+1> a-1 \text{ for } a \geq 2)$$
Pero, ¿es eso cierto?
Para el punto 2, ¿puedo mostrarlo también por inducción?
Para el punto 3, es bastante simple, porque si $a_n<a$ entonces $\sqrt{a_n}<\sqrt{a}$ Así que..: $$a_{n+1}=\sqrt{a+\sqrt{a_n}}<\sqrt{a+\sqrt{a}}<\sqrt{a+a}=\sqrt{2a}$$
Para el punto 4, sé que $\sqrt{2a}<2a$ pero no puedo pensar en nada después de eso.
El punto 5 es sólo una conclusión de que se trata de una pregunta de inducción.
¿Alguien puede ayudarme a confirmar el punto 1 y hacer los puntos 2 y 4? Gracias.
