Desigualdad con integrales

Question

Tengo un problema con el siguiente ejercicio.

Dejemos que $f$ , $g$ sean funciones continuas no negativas sobre $[a,b]$ y que $C$ una constante positiva.

Supongamos que: $f(x) \leq C+ \int_{a}^x f(t)g(t)dt$ ,

para todos $x \in [a,b]. $ Demuestra eso:

$$f(x) \leq C\exp\left(\int_{a}^x g(t)dt\right).$$

Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $h(x):=\int_a^xf(t)g(t)dt$ . Entonces $g(x)(C+h(x))\geq h'(x)$ . Así que $h'(x)-g(x)h(x)\leq Cg(x)$ . Ahora multiplicando por $\exp\left(-\int_0^xg(t)dt\right)$ obtenemos $$\frac d{dx}\left(h(x)\exp\left(-\int_0^xg(t)dt\right)\right)\leq Cg(x)\exp\left(-\int_0^xg(t)dt\right),$$ e integrando $$h(x)\exp\left(-\int_0^xg(t)dt\right)\leq C\int_0^xg(u)\exp\left(-\int_0^ug(t)dt\right)du.$$ El RHS es $C-C\exp\left(-\int_0^xg(t)dt\right)$ Así que $$h(x)\leq C\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)-C.$$ Como $h(x)\geq f(x)-C$ obtenemos el resultado deseado.

Answer 2

Se puede utilizar la idea de la desigualdad de wansik en ODE