Números naturales $a,b,c$ satisfaciendo $abc=2(a+b+c)$

Question

¿Cómo se pueden encontrar todos los números naturales tales que: $abc$

$$abc=2(a+b+c)$$

He probado esto:

$abc-2c=2a+2b$ así que $c=\frac{2(a+b)}{ab-2}$

Answer 1

Los únicos casos posibles son - $(1,3,8) , (1,4,5) , (2,2,4)$

¿Cómo? Lo vi de esta manera

$a=1 \implies c=\frac{2b+2}{b-2} $ Compruebe si $b=3,4$ en $b=4$ , $c=5$ para que sepas que tienes que parar.

$a=2 \implies c=\frac{b+2}{b-1} $ Compruebe si $b=2,3$ en $b=3$ , $c<3$ para que sepas que es suficiente.

$a=3 \implies c=\frac{2b+6}{3b-2} $ Compruebe si $b=3$ $c<3$ Ya está hecho.

Una forma muy fastidiosa de hacerlo, pero que funciona.

Sólo un medio de simplificación, poner $a=b=c$ como condición de contorno. Se obtiene $a=\sqrt{6}$ Lo que significa que no puedes ir más allá $a=2$

Además, en su ecuación, ponga $b=c$ para obtener la condición de contorno para $b$ . se obtiene el límite para ser $\frac{2+\sqrt{4+2a}}{a}$ para cada $a$

Answer 2

Necesitamos $abc = 2(a+b+c)$ y tenemos $a \le b \le c$ .

Por lo tanto, $2(a+b+c) \le 6c$

Eso significa que necesitamos $ab \le 6$ . Esto le da un número finito de valores de $a,b$ para probar ( $a=1,2,3$ con $ab=6$ ) y para cada uno de ellos es fácil encontrar un $c$ o no mostrar $c$ existe, así que se lo dejo a usted.