Demostrar que un conjunto definido por funciones cóncavas sobre $R^n$ es convexo

Question

Llevo todo el fin de semana intentando probar esta afirmación...

Dejemos que $g_1,\dots,g_m$ sean funciones cóncavas sobre $\mathbb{R}^n$ . Demostrar que el conjunto $S=\{x:g_i(x)\geq{0},\ i=1,\dots,m\}$ es convexo.

Answer 1

Toma $x,y\in S$ y $a\in [0,1]$ y $i\in\{1,\dots,m\}$ . Entonces por concavidad de $g_i$ , $$g_i(ax+(1-a)y)\geq ag_i(x)+(1-a)g_i(y).$$ Esta cantidad es no negativa, porque también lo son $a$ , $1-a$ , $g_i(x)$ y $g_i(y)$ . Concluimos que $ax+(1-a)y\in S$ Por lo tanto $S$ es convexo.