Mostrar la convergencia de una secuencia

Question

Dejemos que $x_1=(1,0,0,...),x_2=(1/2,1/2,0,0,...),x_3=(1/3,1/3,1/3,0,0,0,...),...$

Demuestra que $x_n$ converge a cero en $\ell ^2$ y $\ell ^{\infty}$ espacios pero no converge en $\ell ^1$

He escrito la secuencia como

$(x_i)_n$ = \begin{cases} 0, & \text{if $ i\gt n$} \\ 1/n, & \text{if $i \le n$} \end{cases}

Para $\ell ^{\infty}$ espacio :

$\|x_n-0\|_{\infty} = sup_{i \in \mathbb N}|x_{in}| = 1/n \lt \varepsilon$

Para $\ell ^1$ espacio :

$\|x_n-0\|_{\ell ^1} = \sum_{i=1}^{\infty} |x_{ni}| = \sum_{i=1}^{\infty} 1/n = 1/n \lt \varepsilon $ desde $n$ es independiente del índice $i$ . Por lo tanto, converge a cero.

Estoy confundido con esto. ¿Cómo debo escribir para $\ell ^1$ ¿espacio? No veo mi error. Gracias...

Answer 1

$|x_n|_{\ell^1}=\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}=1\not\to 0$ , mientras que

$|x_n|_{\ell^2}=\left(\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\right)^{1/2}=\frac{1}{n^{1/2}}\to 0$ .