Encontrar la dimensión de similitud de una variación del Conjunto de Cantor.

Question

Si tomamos el conjunto de Cantor y en lugar de eliminar el intervalo $[1/3, 2/3]$ eliminamos el intervalo abierto $[x,1-x]$ con $0<x<1/2$ ¿se modificará la dimensión de la similitud? Lo que creo es que volvemos a obtener el factor de escala $3$ y obtenemos dos copias de las líneas, pero reescaladas. Así que la dimensión de similitud es $\log(2)/\log(3) = 0.63$ .

Answer 1

Sí, la dimensión de la similitud será diferente. El conjunto de Cantor generalizado está formado por dos copias de sí mismo, escaladas por el factor de $x$ . Por lo tanto, su dimensión (similitud, Hausdorff, caja/Minkowski, empaquetamiento...) es $\log 2/\log(1/x)$ .