¿Cuál es el menor número de raíces cuadradas necesarias para expresar $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{100}$ si debe expresarse en la forma $a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}+\cdots$ donde $a,b,c,d,e,\ldots$ ¿son todos enteros?
Solución
Para encontrar el menor número de raíces cuadradas, debemos expresar este número en la forma más simple. Así, los números del radicando que están en la forma más simple y que se contarán son los números que tienen como máximo uno de cada factor primo. Entonces la pregunta se simplifica a "¿Cuántos números hay entre $1-100$ con a lo sumo uno de cada factor primo?
Hay varias maneras de proceder a partir de aquí. Creo que la mejor manera sería el recuento complementario. Entonces buscamos números con al menos $2$ factores de cada primo, por lo tanto múltiplos de cuadrados perfectos. Nuestros cuadrados perfectos son $1,4,9,16,25,36,49,64,81$ . Por lo tanto, tenemos $1+25+11-2+3+2 = 40$ tales números por el principio de inclusión-exclusión. Así, la respuesta es $100-40 = 60$ .
Pregunta
¿Cómo es que el número expresado en la forma más simple dará el menor número de radicales? La solución parece implicar eso, pero ¿por qué es cierto?