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¿Cuál es el menor número de raíces cuadradas necesarias para expresar $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{100}$ ?

¿Cuál es el menor número de raíces cuadradas necesarias para expresar $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{100}$ si debe expresarse en la forma $a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}+\cdots$ donde $a,b,c,d,e,\ldots$ ¿son todos enteros?

Solución

Para encontrar el menor número de raíces cuadradas, debemos expresar este número en la forma más simple. Así, los números del radicando que están en la forma más simple y que se contarán son los números que tienen como máximo uno de cada factor primo. Entonces la pregunta se simplifica a "¿Cuántos números hay entre $1-100$ con a lo sumo uno de cada factor primo?

Hay varias maneras de proceder a partir de aquí. Creo que la mejor manera sería el recuento complementario. Entonces buscamos números con al menos $2$ factores de cada primo, por lo tanto múltiplos de cuadrados perfectos. Nuestros cuadrados perfectos son $1,4,9,16,25,36,49,64,81$ . Por lo tanto, tenemos $1+25+11-2+3+2 = 40$ tales números por el principio de inclusión-exclusión. Así, la respuesta es $100-40 = 60$ .

Pregunta

¿Cómo es que el número expresado en la forma más simple dará el menor número de radicales? La solución parece implicar eso, pero ¿por qué es cierto?

3voto

David K Puntos 19172

La raíz cuadrada de cada número libre de cuadrados menor que $100$ aporta un término a la suma con una surd (una raíz cuadrada que no se puede simplificar), pero todos los múltiplos cuadrados del número bajo la raíz cuadrada ( $4$ tiempos, $9$ tiempos, $16$ tiempos, etc.) puede combinarse con el término del número original libre de cuadrados, por lo que no aportan ningún término adicional. Por ejemplo,

$$ \sqrt{11} + \sqrt{44} + \sqrt{99} = 6\sqrt{11}. $$

Una forma de contar los enteros cuyas raíces cuadradas hacen no aportar nuevos surds a la suma es la siguiente:

  • $10$ cuadrados perfectos en el rango $1$ a $100$ , inclusive;
  • $6$ casos de dos veces un cuadrado perfecto en el rango $8$ a $98$ , inclusive;
  • $4$ casos de $3$ veces un cuadrado perfecto en el rango $12$ a $75$ , inclusive;
  • $3$ casos de $5$ veces un cuadrado perfecto en el rango $20$ a $80$ , inclusive;
  • $3$ casos de $6$ veces un cuadrado perfecto en el rango $24$ a $96$ , inclusive;
  • $6$ casos que incluyen $2$ casos cada uno de $7$ veces un cuadrado perfecto, $10$ veces un cuadrado perfecto, y $11$ veces un cuadrado perfecto en el rango $28$ a $99$ , inclusive;
  • $8$ casos que incluyen $13 \times 4$ , $14 \times 4$ , $15 \times 4$ , $17 \times 4$ , $19 \times 4$ , $21 \times 4$ , $22 \times 4$ y $23 \times 4$ .

Estas suman $40$ términos de la suma original que son enteros o pueden combinarse con otros términos, dejando $60$ surds únicos. Esto es lo mismo que su resultado, por supuesto.

Aquí está la suma completamente elaborada, confirmando que $60$ cuadrado se necesitan raíces cuadradas:

\begin{align} \sqrt1 + & \sqrt2 + \cdots + \sqrt{100} \\ =& \quad 1 + \sqrt2+\sqrt3 + 2 + \sqrt5+\sqrt6+\sqrt7 + 2\sqrt2 + 3 + \sqrt{10} \\ & + \sqrt{11} + 2\sqrt3 + \sqrt{13} + \sqrt{14} + \sqrt{15} + 4 + \sqrt{17} + 3\sqrt2 + \sqrt{19} + 2\sqrt{5} \\ & + \sqrt{21} + \sqrt{22} + \sqrt{23} + 2\sqrt6 + 5 + \sqrt{26} + 3\sqrt3 + 2\sqrt7 + \sqrt{29} + \sqrt{30} \\ & + \sqrt{31} + 4\sqrt2 + \sqrt{33} + \sqrt{34} + \sqrt{35} + 6 + \sqrt{37} + \sqrt{38} + \sqrt{39} + 2\sqrt{10} \\ & + \sqrt{41} + \sqrt{42} + \sqrt{43} + 2\sqrt{11} + 3\sqrt5 + \sqrt{46} + \sqrt{47} + 4\sqrt3 + 7 + 5\sqrt2 \\ & + \sqrt{51} + 2\sqrt{13} + \sqrt{53} + 3\sqrt6 + \sqrt{55} + 2\sqrt{14} + \sqrt{57} + \sqrt{58} + \sqrt{59} + 2\sqrt{15} \\ & + \sqrt{61} + \sqrt{62} + 3\sqrt7 + 8 + \sqrt{65} + \sqrt{66} + \sqrt{67} + 2\sqrt{17} + \sqrt{69} + \sqrt{70} \\ & + \sqrt{71} + 6\sqrt2 + \sqrt{73} + \sqrt{74} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{19} + \sqrt{77} + \sqrt{78} + \sqrt{79} + 4\sqrt5 \\ & + 9 + \sqrt{82} + \sqrt{83} + 2\sqrt{21} + \sqrt{85} + \sqrt{86} + \sqrt{87} + 2\sqrt{22} + \sqrt{89} + 3\sqrt{10} \\ & + \sqrt{91} + 2\sqrt{23} + \sqrt{93} + \sqrt{94} + \sqrt{95} + 4\sqrt6 + \sqrt{97} + 7\sqrt2 + 3\sqrt{11} + 10 \\ =& \quad 55 + 28\sqrt2 + 15\sqrt3 + 10\sqrt5 + 10\sqrt6 + 6\sqrt7 + 6\sqrt{10} \\ & + 6\sqrt{11} + 3\sqrt{13} + 3\sqrt{14} + 3\sqrt{15} + 3\sqrt{17} + 3\sqrt{19} \\ & + 3\sqrt{21} + 3\sqrt{22} + 3\sqrt{23} + \sqrt{26} + \sqrt{29} + \sqrt{30} \\ & + \sqrt{31} + \sqrt{33} + \sqrt{34} + \sqrt{35} + \sqrt{37} + \sqrt{38} \\ & + \sqrt{39} + \sqrt{41} + \sqrt{42} + \sqrt{43} + \sqrt{46} + \sqrt{47} \\ & + \sqrt{51} + \sqrt{53} + \sqrt{55} + \sqrt{57} + \sqrt{58} + \sqrt{59} \\ & + \sqrt{61} + \sqrt{62} + \sqrt{65} + \sqrt{66} + \sqrt{67} + \sqrt{69} \\ & + \sqrt{70} + \sqrt{71} + \sqrt{73} + \sqrt{74} + \sqrt{77} + \sqrt{78} \\ & + \sqrt{79} + \sqrt{82} + \sqrt{83} + \sqrt{85} + \sqrt{86} + \sqrt{87} \\ & + \sqrt{89} + \sqrt{91} + \sqrt{93} + \sqrt{94} + \sqrt{95} + \sqrt{97} \\ \end{align}

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