Construir un polinomio simple $f(x)$ de grado mayor que $1$ que tiene coeficientes en algún campo $k$ y es irreducible sobre $k$ pero no es ni separable ni puramente inseparable sobre $k$ .
Mi enfoque:
Consideremos un polinomio $p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+1\in \mathbb{Q}[x]$ . Utilizando la prueba de la raíz racional podemos demostrar que no tiene raíces en $\mathbb{Q}$ y por lo tanto es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .
Desde $p(x)=x^3-6x^2+7x-5$ entonces $p'(x)=3x^2-12x+7$ y podemos comprobar que $\text{gcd}(p,p')\neq 1$ porque la división larga muestra que $p=p'\times(\frac{x}{3}-\frac{2}{3})+(-\frac{10x}{3}-\frac{1}{3})$ . Por lo tanto, $p(x)$ no es separable.
También $p(x)$ no es puramente inseparable. Por lo demás, $p(x)=(x-\beta)^3$ pero la comparación de los coeficientes y la expansión nos dará una contradicción.
Pregunta: ¿Puede alguien dar otro ejemplo en campos finitos? Yo estaba tratando de construir tal ejemplo en campos finitos, pero no fue capaz de hacerlo.
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Polinomios irreductibles en $\mathbb{Q}[x]$ tienen raíces simples, porque $f \in \mathbb{Q}[x] \implies \frac{f}{gcd(f,f')} \in \mathbb{Q}[x]$ . En los campos de la característica $p$ puede fallar porque puede ocurrir que $f' = 0$ para $f$ no constante, por ejemplo $f(x)=x^p- t^p \in \mathbb{F}_p(t^p)[x]$ es irreducible y $f'= p x^{p-1}= 0$
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@reuns, ¿mi ejemplo es correcto?
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No, su ejemplo no es correcto. Todo polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$ o cualquier campo de característica cero, es separable.
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@jmerry, pero ¿qué hay de malo en mi razonamiento? ¿Podrías mostrarlo explícitamente?
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Es $(x^2+1)^2 \in \mathbb{Q}[x]$ ¿Irreducible?
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¡@reuns, ciertamente no! Ya tiene factorización
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¿Qué hay de malo en tu razonamiento? El GCD de esos dos polinomios es $1$ . El algoritmo euclidiano tiene varios pasos; no se detiene en el primer resto, sino que sigue hasta obtener un cero.
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¿Tiene alguna raíz en $\mathbb{Q}$ ?
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@jmerry, ¿podría dar más detalles en una respuesta donde mi división larga no es correcta?
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@reuns, no tiene raíces en los racionales.
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El punto que reuns y jmerry querían hacer es una analogía con lo siguiente. Si se divide $a=10$ por $b=6$ se obtiene el cociente $q=1$ y el resto $r=4$ . Todavía, $\gcd(10,6)\neq4$ . Si se ejecuta Euclides hasta el final se verá que $\gcd(10,6)=2$ . No ha ejecutado Euclides hasta el final, y no ha calculado $\gcd(p(x),p'(x))$ todavía.
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Y, sobre un campo finito todo polinomio irreducible es separable. Esto se debe a que los campos finitos son perfecto .
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¡@JyrkiLahtonen, después de tu último comentario supongo que no hay tal ejemplo porque como dijiste cualquier polinomio irreducible es separable!
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@JyrkiLahtonen, ¿podrías darme algún enlace donde pueda encontrar este interesante ejemplo? Estoy seguro de que no puedo resolverlo por mí mismo
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Dejemos que $L=\Bbb{F}_p(t)$ , $t$ trascendental sobre el campo primo. Supongamos que $p\equiv-1\pmod 4$ para que sepamos que $-1$ no tiene raíz cuadrada en $\Bbb{F}_p$ . Sea $K$ sea el subcampo $\Bbb{F}_p(t^p)\subset L$ . Creo que $$f(x)=x^{2p}+t^{p}$$ es irreducible en $K[x]$ (Eisenstein). Sus ceros son $\pm i\sqrt{t}$ , ambos de multipicidad $p$ .
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@JyrkiLahtonen, supongo que será mejor que des la respuesta por separado. Te lo agradeceré.
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@JyrkiLahtonen, ¿Qué es $i$ ¿Aquí? Número complejo $i$ ? Parece bastante extraño porque no hay nada en común entre $\mathbb{F}_p$ y $\mathbb{C}$ .
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Es sólo una raíz cuadrada de $-1$ . Hay un elemento de este tipo en el campo de la extensión $\Bbb{F}_{p^2}$ .
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@JyrkiLahtonen, ¡tiene sentido!