Demostración de la simetría en un gon regular de 2n

Question

Dado un polígono regular de $2n$ bordes, coloreamos cada borde en blanco o negro (con $n$ de cada color). Demostrar que existe una diagonal que divide el polígono en dos secciones, de forma que todas las aristas negras de cada sección se corresponden con una arista blanca del otro lado, justo enfrente de la diagonal, y viceversa.

¿Cómo debo hacerlo? ¿Casillero?

Answer 1

Si estoy entendiendo bien la condición del problema, no creo que esto sea cierto.

Dada una regularidad $2n$ -gon, hay $\binom{2n}n$ formas de colorear sus lados en blanco y negro. Sin embargo, si fijamos una diagonal que debe satisfacer la propiedad anterior, sólo tenemos $2^n$ colores de la $2n$ -gon que puede "cubrir" (es decir, la coloración satisface la condición con esta diagonal elegida) -- una vez elegida la forma de colorear todos los lados de un lado de la diagonal (cada lado puede ser blanco o negro), todos los lados de la otra mitad del $2n$ -gon están determinados. Hay $n$ formas de elegir la diagonal, por lo que tienes como máximo $n2^n$ colores de su $2n$ -para el que existe una diagonal que satisface la condición anterior. Esto implica que $n2^n\geq \binom{2n}n$ que es falso para $n\geq 4$ .