Relaciones aritméticas entre los grados de irrchar y los cardinales de las clases de conjugación

Question

Quizás esta cuestión ya se planteó en MO. Si es así, entonces estoy listo para borrarlo.

Si $G$ es un grupo finito, denoto c $=(c_1,\ldots,c_r)$ los cardenales de sus clases de congestión y m $=m_1,\ldots,m_s$ los grados de sus representaciones complejas irreducibles. Las siguientes propiedades aritméticas son bien conocidas: $$s=r,\qquad m_j|n=\sum_jc_j,\qquad\sum_jm_j^2=n.$$ ¿Hay alguna otra relación entre c y m ?

Answer 1

Hay algunas desigualdades muy generales, pero bastante débiles, que relacionan los vectores $\bf c$ y $\bf m$ . Por ejemplo, $$ c_i \le {n \over u} \qquad {\rm and} \qquad m_i \le \sqrt{n \over v}\,, $$ donde $u$ es el número de $1$ s en $\bf m$ y $v$ es el número de $1$ s en $\bf c$ .

Para ver por qué se mantienen estas desigualdades, observe que $u = |G:G'|$ Así que $n/u = |G'|$ . Cada clase de conjugación está contenida en algún coset de $G'$ por lo que tiene un tamaño máximo de $|G'|$ . También, $v = |{\bf Z}(G)|$ y como es bien sabido, $|G:{\bf Z}(G)|$ es un límite superior para los cuadrados de los grados de carácter irreducible de $G$ .

De hecho, se puede hacer una afirmación algo más fuerte. La lista $\bf c$ puede dividirse de tal manera que la suma de los $c_i$ en cada parte es exactamente $n/u$ y de manera similar, ${\bf m}$ puede dividirse de tal manera que la suma de los cuadrados de las $m_i$ en cada parte es exactamente $n/v$ . La partición de $\bf c$ corresponde a las clases contenidas en los distintos cosets de $G'$ y la partición de $\bf m$ corresponde a los caracteres que se encuentran sobre los distintos caracteres lineales de ${\bf Z}(G)$ .