Conjunto contraíble en un colector

Question

Dejemos que $M$ ser un $n$ -de una variedad topológica cerrada. Supongamos que $K$ es un subconjunto compacto de $M$ que es contractible en el sentido de que existe un mapa continuo $F:K \times [0,1] \to M$ con $F(\cdot,0)=id$ y $F(\cdot, 1)=q \in M$ .

¿Podemos encontrar un barrio abierto $U$ de $K$ tal que $U$ es homeomorfo a $\mathbb R^n$ ?

Answer 1

Esto no es cierto. Sea K un componente (no importa cuál) del Enlace de Whitehead que tiene dos componentes. Entonces K es contraíble en el complemento M de la otra componente. Pero K no está contenido en una bola 3 de M. Esto puede verse de muchas maneras; por ejemplo, si K estuviera contenido en una bola 3, entonces cada uno de sus ascensos a la cubierta universal de M tendría números de enlace triviales. Pero se puede dibujar fácilmente la imagen de la cubierta y ver que algunos de esos números de enlace son $\pm 1$ .

Answer 2

No. Deja que $M$ sea $S^1\times S^2$ y que $K$ sea homeomorfo a $S^1$ y elegidos de forma que en la cobertura universal $\tilde M=\mathbb R\times S^2$ hay dos levantamientos $K_1$ y $K_2$ de $K$ que están vinculados entre sí. Si $U$ entonces estos estarían contenidos en dos levantamientos disjuntos $U_1$ y $U_2$ de $U$ por lo tanto, desvinculado.

Answer 3

Sabemos que la respuesta a la pregunta original es negativa. Pero creo que podría valer la pena dar una respuesta afirmativa al caso cuando $n=2$ por lo que se pueden ver las obstrucciones a la generalización de casos de mayor dimensión, por ejemplo, algunas obstrucciones explotadas por Siebenmann como sugirió Ryan Budney. La prueba se basa en mis comentarios anteriores. Creo que Tom Goodwillie también tiene una prueba.

Lema. Dejemos que $K$ denotan un subconjunto compacto de un ANR $X$ . Entonces $K$ es contraíble en $X$ si algún nbhd $U$ de $K$ es contraíble en $X$ .

Prueba. Dejemos que $F_t$ denotan una contracción de $K$ en $X$ . Definir un mapa $f:A\to X$ en $A=(K\times[0,1])(X×\{0,1\})$ de $X\times[0,1]$ como $f(<x,0>)=x$ y $f(<x,1>)=F_1(K)=point$ para $x\in X$ y como $f(<k,t>)=F_t(k)$ para $k\in K$ . Desde $X$ es un ANR, $f$ se extiende a un mapa $F:V\to X$ definida en un nbhd $V$ de $A$ en $X×[0,1]$ . Entonces $K$ tiene una nbhd $U$ con $U×[0,1]$ en $V$ y la restricción de $U×[0,1]$ es la contracción deseada. La otra implicación es obvia.

Reclamación. Dejemos que $K$ sea un subconjunto compacto de un 2-manifold $M$ . Si $K$ es contraíble en $M$ entonces existe un nbhd $U$ de $K$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ .

Esquema de la prueba. El argumento se centra principalmente en el caso $M = \mathbb{R}^2$ . El caso general seguirá por elevación a la cubierta universal de $M$ que es topológicamente $\mathbb{R}^2$ o $S^2$ . Por el lema anterior, existe un nbhd $U$ que se contrae en $\mathbb{R}^2$ . Construir un 2manifold compacto con límite $H$ en $\mathbb{R}^2$ tal que $K \subset Int H \subset H \subset U$ , $Int H$ está conectado y $\partial H$ es poligonal. Si $\partial H$ es conectado, el teorema de Jordan-Schonflies implica que $H$ es de 2 celdas. De lo contrario, se puede cortar en $H$ hasta que se conecte. Esto no es demasiado difícil de hacer ya que $H - K$ está conectado. Esto se deduce de Hurewicz-Wallman[P.100] diciendo un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ separa $\mathbb{R}^n$ si admite un mapa a $S^{n-1}$ que no es nulo-homotópico. Por lo tanto, podemos pasar un arco poligonal por $H - K$ de un componente límite de $\partial H$ a otro. Espesar el arco a un disco $D$ para que $H'=Cl(H -D)$ es una 2manifold compacta con límite. Sigue cortando así hasta que aparezca una 2-célula.