Diferenciación de una función de distribución con respecto a una medida

Question

El contexto es que

$X^{(n)}=(X_1,\ldots,X_n)$ consiste en $n$ $i.i.d.$ observaciones según $F$ . Supongamos que $F$ está dominado por un $\sigma$ -medida finita $\mu$ y que $f=\frac{dF(x)}{d\mu}$ .

Aquí, no puedo entender el concepto de $f=\frac{dF(x)}{d\mu}$ .

¿Cómo podemos diferenciar una distribución con respecto a una medida?

referencia: Romano, Joseph P., Azeem M. Shaikh y Michael Wolf. "Hypothesis testing in econometrics". Annu. Rev. Econ. 2.1 (2010): 75-104.

Answer 1

La función $$f(x)=\dfrac{\text dF}{\text d\mu}(x)$$ es la densidad de la medida $F$ con respecto a la medida dominante $\mu$ . La notación proviene del caso unidimensional cuando $F$ es la fdc y $\text dμ$ la medida de Lebesgue, $\text dx$ . También se denomina Derivado de Radon-Nikodym de la medida $F$ con respecto a la medida $\mu$ , suponiendo que $F$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$ .