Diferenciación de $f(x)=sin(x)/x$ si $x\ne0$ y $1$ si $x=0$

Question

Estoy tratando de ver si $$f(x)= \begin{cases} \frac{\sin(x)}x &\text{ if x}\neq0\\ 1 &\text{ if x}=0. \end{cases} $$ es diferenciable más de una vez. Esto es lo que hice: $$f'(0)= \begin{cases} 0 \\ 0 . \end{cases} $$ $$f''(0)= \begin{cases} -1/3 \\ 0. \end{cases} $$ Por lo tanto, sólo es diferenciable una vez. También, $$g(x)= \frac{\sin(x)}x$$ es diferenciable más de una vez. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

No lo creo.

Basándose en la definición de $f(x)$ podemos obtener la expresión de su primera derivada $$ f'(x)=\begin{cases}0,&\text{if}\quad x=0\\\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}, &\text{if}\quad x\neq0\end{cases} $$ Entonces $$f''(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^3}=-\frac{1}{3}$$ y $$ f''(x)=\frac{2\sin(x)-2x\cos(x)}{x^3}-\frac{\sin(x)}{x}\quad\text{if}\quad x\neq 0 $$ Como $$ \lim_{x\rightarrow0}f''(x)=-\frac{1}{3}=f''(0) $$ podemos diferenciarlo más de dos veces.

Answer 2

Esta función $f$ llamada "sinc" en el procesamiento de señales, es infinitamente diferenciable en $0$ . Esto queda inmediatamente claro cuando escribimos $f$ en la forma $$f(x)=\int_0^1\cos(t x)\>dt$$ (compruebe que esto es válido para todos los $x\in{\mathbb R}$ ). También se puede invocar la representación en serie $$f(x)=1-{x^2\over 3!}+{x^4\over 5!}-{x^6\over 7!}+\ldots$$ que viene de la serie del pecado.

PD: Por supuesto que es un ejercicio útil para demostrar la diferenciabilidad de $f$ en $0$ "a mano".

Answer 3

Para $x\ne0$ , $f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ y $f$ es diferenciable.

Para $x=0$ por la definición de la derivada

$$f'(x)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}x=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\cdots-x}{x^2}=0.$$ (Coincide con $\lim_{x\to0}f'(x)$ como se encontró anteriormente, por lo que la primera derivada es continua).

La segunda derivada en $x=0$ es

$$\lim_{x\to0}\frac{\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}-0}x=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}\cdots-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}\cdots}{x^3}=-\frac1{3}.$$