Desigualdad de congruencia

Question

Dado $n>2$ , por cálculo o de otra manera deducir que $5^{2^{n-3}} \neq -1 \pmod {2^n}$

Nota:El problema surgió cuando intenté deducir $\langle5\rangle \cap \langle2^n-1\rangle=\{1\}$ en el grupo $\mathbb{Z}^{*}_{2^n}$ He mostrado $\operatorname{ord}(5)=2^{n-2}$

Answer 1

Demostramos por inducción que si $n \ge 3$ entonces $5^{2^{n-3}}\equiv 1+2^{n-1}\pmod{2^n}$ . Y está claro que $1+2^{n-1}\not\equiv -1 \pmod{2^n}$ si $n \ge 3$ .

El resultado se mantiene cuando $n=3$ . Ahora hacemos el paso de inducción. Supongamos que sabemos que para un determinado $k$ tenemos $5^{2^{k-3}}\equiv 1+2^{k-1}\pmod{2^k}$ . Demostramos que $5^{2^{k-2}}\equiv 1+2^{k}\pmod{2^{k+1}}$ .

Por supuesto, $5^{2^{k-3}}=1+2^{k-1} +t2^k$ para algún número entero $t$ . Eleva al cuadrado ambos lados y simplifica el módulo $2^{k+1}$ . Obtenemos $$5^{2^{k-2}}\equiv (1+2^{k-1})^2=1+2^k+2^{2k-2}\pmod{2^{k+1}}.$$ Pero $2^{2k-2}$ es divisible por $2^{k+1}$ ya que $2k-2 \ge k+1$ cuando $k \ge 3$ . El resultado es el siguiente.