Puntos de $\mathbb{R}^n$ tal que la distancia entre dos puntos es un entero impar.

Question

Hace poco oí hablar del siguiente resultado: "Si existe $x_1,\ldots,x_{n+2}\in\mathbb{R}^n$ tal que para todo $i\neq j$ , $\|x_i-x_j\|$ es un número entero impar (donde $\|\cdot\|$ es la norma euclidiana de $\mathbb{R}^n$ ), entonces $16$ divide $n+2$ ." No tengo ni idea de por qué es cierto, se agradecería alguna ayuda para demostrar este resultado.

Answer 1

Esto parece una pregunta de concurso más que una pregunta de examen. Si hubiera sido una pregunta de examen, sería una pregunta muy pobre, porque su solución parece basarse en múltiples trucos que son ajenos a la mayoría de los estudiantes.

Dejemos que $x_{n+2}=0$ . Entonces $\|x_i\|\,(=\|x_i-x_{n+2}\|)$ y $\|x_i-x_j\|$ son enteros Impares cuando $i,j\le n+1$ y $i\ne j$ . Como el cuadrado de cualquier número entero es congruente con $1$ modulo $8$ (porque $(2k+1)^2=4k(k+1)+1$ y $k(k+1)$ es par), ambos $\|x_i\|^2$ y $2\langle x_i,x_j\rangle=\|x_i\|^2+\|x_j\|^2-\|x_i-x_j\|^2$ son congruentes con $1$ modulo $8$ . A su vez, $$\begin{aligned} 2\|x_i\|^2&\equiv2&\mod16,\\ 2\langle x_i,x_j\rangle&\equiv1\ \text{ or }\ 9&\mod16. \end{aligned}$$ Dejemos que $G=2X^TX$ donde $X=\pmatrix{x_1&x_2&\cdots&x_{n+1}}$ . Las congruencias anteriores demuestran que, modulo $16$ todas las entradas diagonales de $G$ son congruentes con $2$ y cada entrada fuera de la diagonal es congruente con $1$ o $9$ pero puede ocurrir que algunas entradas no diagonales sean congruentes con $1$ y algunos son congruentes con $9$ .

Desde $G$ es simétrica, si sustituimos algún par simétrico de entradas no diagonales por una indeterminada $t$ entonces $\det(G)$ es un polinomio de la forma $p(t)=at^2+2bt+c$ para algunos enteros $a,b$ y $c$ . Desde $p(1)$ es congruente con $p(9)$ modulo $16$ podemos cambiar todas las entradas no diagonales de $G$ a $1$ sin cambiar el valor de $\det(G)$ modulo $16$ . (Este ingenioso argumento se debe a @S.Dolan).

En otras palabras, $\det(G)$ es congruente con $\det(I_{n+1}+ee^T)=n+2$ modulo $16$ . Sin embargo, también tenemos $\det(G)=\det(2X^TX)=0$ porque $X$ tiene más columnas que filas. Por lo tanto, $16|(n+2)$ .

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Actualización. Debería haber ejercido la debida diligencia primero. Una rápida búsqueda en Internet revela que este problema fue planteado y resuelto en Graham y otros. , ¿Hay $n+2$ puntos en $E^n$ con las distancias integrales de impar? AMM 81(1):21-25, 1974. No tengo acceso a esta revista, pero en el avance de este artículo, se escribió que

Teorema 1. Para la existencia de $n+2$ puntos en $E^n$ de manera que la distancia entre dos de ellos sea un entero impar, es necesario y suficiente que $n+2\equiv0\ (\operatorname{mod} 16)$ .