Descripción del álgebra de Lie libre en el libro de Weibel

Question

En el ejercicio 7.3.2 del libro de Weibel Introducción al álgebra homológica la siguiente descripción del álgebra de Lie libre sobre alguna $k$ -Módulo $M$ se da (donde $k$ es cualquier anillo conmutativo):

En primer lugar, consideremos el álgebra tensorial $T(M)$ . Tomemos el álgebra de Lie subyacente $\mathrm{Lie}(T(M))$ es decir $[x,y] = xy-yx$ . Entonces, consideremos la subálgebra de Lie $\mathfrak{f}(M) \subseteq \mathrm{Lie}(T(M))$ generado por $M$ . La afirmación es que $\mathfrak{f}(M)$ es el álgebra de Lie libre en $M$ es decir, que cada $k$ -mapa lineal $f : M \to \mathfrak{g}|_k$ en el subyacente $k$ -de alguna álgebra de Lie se extiende de forma única a un mapa de álgebra de Lie $\overline{f} : \mathfrak{f}(M) \to \mathfrak{g}$ .

Bueno, la unicidad está clara, ya que $M$ genera $\mathfrak{f}(M)$ . En concreto, tenemos que mapear $[x_1,[x_2,[\dotsc[x_{n-1},x_n]\dotsc]]]$ a $[f(x_1),[f(x_2),[\dotsc[f(x_{n-1}),f(x_n)]\dotsc]]]$ y $\mathfrak{f}(M)|_k$ es generado por estos elementos. Pero no soy capaz de demostrar la existencia, es decir, que esto está bien definido.

Por naturalidad, podemos suponer $M=\mathfrak{g}|_k$ y $f=\mathrm{id}$ . El caso especial más sencillo para la buena definición es el siguiente: Si $[x,y]=0$ en $\mathfrak{f}(M)$ es decir $x \otimes y = y \otimes x$ en $M^{\otimes 2}$ ¿Por qué tenemos $[x,y]=0$ en $\mathfrak{g}$ ? Esto es así cuando $k$ es un campo, porque entonces $x \otimes y = y \otimes x$ implica $x \in \langle y \rangle$ y $[x,y]=0$ se desprende de $[y,y]=0$ . Si $k$ es arbitraria, sólo puedo ver $2 \cdot [x,y]=0$ (de hecho, $[x,y]=[y,x]$ porque el corchete de Lie es bilineal, y $[y,x]=-[x,y]$ se mantiene en general). Por lo tanto, si $2 \in k^{\times}$ se deduce de nuevo que $[x,y]=0$ pero, por lo demás, no está claro.

¿No debería ser posible construir un contraejemplo? No aparece en el Errata Sin embargo. ¿Es cierta la descripción, al menos, cuando $k$ ¿es un campo? Esto debería estar relacionado con el teorema de PBW.

Answer 1

1. En el caso general, el ejercicio 7.3.2 de Weibel es erróneo: la subálgebra de Lie subálgebra de Lie $\mathfrak{f}\left( M\right)$ de $\operatorname{Lie}\left( T\left( M\right) \right)$ no siempre es un álgebra de Lie libre en $M$ (al menos al menos no si la inclusión de $M$ en él se considera como el mapa canónico). Para ver por qué no, utilizaremos el contraejemplo construido en §5 de

P.M. Cohn, Una observación sobre el teorema de Birkhoff-Witt J. London Math. Soc. 38 (1963), pp. 197--203 .

El contraejemplo es el siguiente (he mantenido la notación pero he modificado ligeramente modificadas las definiciones): Sea $p$ sea un primo, y que $K$ sea un campo de característica $p$ . Sea $k$ sea el anillo conmutativo $k\left[ \alpha ,\beta,\gamma\ \mid\ \alpha^{p}=0,\ \beta^{p}=0,\ \gamma^{p}=0\right]$ . Sea $M$ sea el $k$ -dado por los generadores $x,y,z$ y las relaciones $\alpha x=\beta y+\gamma z$ . Sea $L$ sea el álgebra de Lie libre de $M$ (definido de la manera de la forma habitual, es decir, como cociente de un álgebra magmática libre, sin utilizar $T\left( M\right)$ ). Entonces, el álgebra universal envolvente $U\left( L\right)$ de $L$ es canónicamente isomorfa al álgebra tensorial $T\left( M\right)$ (véase, por ejemplo, math.stackexchange #1030593 ). Cohn define un cierto elemento $\Lambda_{p}\left( \beta y,\gamma z\right)$ de $L$ y muestra que $\Lambda_{p}\left( \beta y,\gamma z\right) =0$ en $U\left( L\right)$ . Así, $\Lambda_{p}\left( \beta y,\gamma z\right) =0$ en $\mathfrak{f}\left( M\right)$ (ya que $\mathfrak{f}\left( M\right) \subseteq\operatorname*{Lie}\left( T\left( M\right) \right) \cong \operatorname*{Lie}\left( U\left( L\right) \right)$ ).

Por otro lado, Cohn afirma que $\Lambda_{p}\left( \beta y,\gamma z\right) \neq0$ en $L$ . No está claro si esta última afirmación se ha demostrado alguna vez pero, al menos, puede comprobarse fácilmente mediante un cálculo para $p=2$ y para $p=3$ lo que significa que al menos para estos primos $p$ tenemos un contraejemplo (ver mathoverflow #61981 y los comentarios debajo de ella para una discusión). De todos modos, sólo queremos un contraejemplo, así que $p=2$ es perfectamente suficiente para nosotros. Combinando el hecho de que $\Lambda_{p}\left( \beta y,\gamma z\right) \neq0$ en $L$ con el hecho de que $\Lambda_{p}\left( \beta y,\gamma z\right) =0$ en $\mathfrak{f}\left( M\right)$ vemos que $\mathfrak{f}\left( M\right)$ no puede ser un álgebra de Lie libre en $M$ (porque si lo fuera, entonces habría un homomorfismo del álgebra de Lie $\mathfrak{f}\left( M\right) \rightarrow L$ enviando $x,y,z$ a $x,y,z$ ).

2. Sin embargo, en muchos casos, el ejercicio 7.3.2 de Weibel es correcto. Uno de esos caso es cuando $M$ es un programa gratuito $k$ -módulo. En este caso, el ejercicio se deduce de Observación 6.42 en Darij Grinberg y Victor Reiner, Álgebras de Hopf en Combinatoria arXiv:1409.8356v4 (el archivo vinculado es el archivo auxiliar con las soluciones). Alternativamente, también se deduce de la referencia de Serre dada por el usuario218931 en su comentario ( Jean-Pierre Serre, Álgebras de Lie y grupos de Lie Grupos de Lie , 5ª edición corregida, Springer 2006 (Teorema I.IV.4.2). El primera prueba es combinatoria, larga e intrincada (es el argumento estándar utilizando la propiedad de Hall de las palabras de Lyndon). La segunda es más corta y, aunque en combinatoria (pasa por las familias de Hall), evita gran parte del trabajo el trabajo de engañar con el cambio de base y el álgebra lineal. Cuál de de estas pruebas es probablemente una cuestión de gusto personal.

3. Otro caso en el que el ejercicio 7.3.2 es correcto es cuando $k$ es un $\mathbb{Q}$ -álgebra (es decir, $1,2,3,\ldots$ son invertibles en $k$ ). Este se desprende de la proposición 7.2.8 del volumen I de Benoit Fresse, Homotopía de Operadas y Grupos de Grothendieck-Teichmüller .