demostrar que $\|f_n-f\|_p \to 0 \iff \|f_n\|_p \to \|f\|_p$

Question

Supongamos que $1 \le p \lt \infty$ . Si $f_n,f \in L^p$ y $f_n \to f$ a.e, entonces demuestre que $\|f_n-f\|_p \to 0 \iff \|f_n\|_p \to \|f\|_p$

Sugerencia: Si $f_n,g_n,f,g \in L^1, f_n \to f \text{ and } g_n \to g \text{ a.e }. |f_n| \le g_n \text{ and } \int g_n \to \int g$ entonces $\int f_n \to \int f$ .

Prueba (pista): Aplicar el lema de Fatou a $g_n \pm\text{Re}({f_n})$ y $g_n\pm\text{Im}({f_n})$ respectivamente para obtener el resultado.

Ahora ( $\implies $ ) se deduce por la desigualdad de Triángulo. Para ( $\impliedby )$ tenemos $$|f_n-f|^p \le (|f_n|+|f|)^p \to 2^p |f|^p$$ Además $$\left(\int\left(|f_n|+|f| \right)^p \right)^{\frac{1}{p}} \le \|f_n\|_p+\|f\|_p \to 2\|f\|_p$$ $$\implies \limsup_n\left(\int\left(|f_n|+|f| \right)^p \right)^{\frac{1}{p}} \le 2\|f\|_p$$ Por el lema de Fatou tenemos $$\int \liminf_n \left(|f_n|+|f|\right)^p \le \liminf_n \int \left(|f_n|+|f|\right)^p $$ $$\implies 2^p \int |f|^p \le \liminf_n \int \left(|f_n|+|f|\right)^p \le \limsup_n \int \left(|f_n|+|f|\right)^p \le 2^p \|f\|_p^p$$

Esto nos da que $$\lim_n \int \left(|f_n|+|f|\right)^p=\int 2^p |f|^p=2^p||f||_p^p$$ Entonces $h_n=|f_n-f|^p \to 0$ y $|h_n| \le g_n=(|f_n|+|f|)^p \to 2^p|f|^p=g$ . También $\int g_n \to \int g$ . Por lo tanto, por la insinuación tenemos $\int |f_n-f|^p\to 0$ .

Esto me parece bien. Sólo quería confirmarlo. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Esto es similar al ejercicio 10 de Folland.

Ejercicio 10

Supongamos que $1\leq p < \infty$ . Si $f_n,f\in L^p$ y $f_n\rightarrow f$ a.e., entonces $\|f_n - f\|_{p}\rightarrow 0$ si y sólo si $\|f_n\|_{p}\rightarrow \|f\|_{p}$

Prueba - Dejemos que $\{f_n\}$ sea una secuencia en $L^p$ que converge a $f$ a.e. Supongamos primero que $\|f_n - f\|_{p}\to 0$ entonces de la desigualdad de Minkoqski es una consecuencia directa que $$|\|f_n\|_{p} - \|f\|_{p}|\leq \|f_n - f\|_{p}$$ Esto implica que $$\|f_n\|_{p}\to \|f\|_{p}$$ Por el contrario, supongamos que $\|f_n\|_{p}\to \|f\|_{p}$ . Recordemos que $|f_n - f|^p \leq 2^p(|f_n|^p + |f|^p)$ . Así que, \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\int |f_n - f|^{p}d\mu = \lim_{n\to \infty}\|f_n - f\|^{p}_{p}&\leq \lim_{n\to \infty}\int 2^p(|f_n|^p + |f|^p)d\mu\\ &= 2^p \lim_{n\to \infty}(\|f_n\|^{p}_{p} + \|f\|_{p}^{p})\\ &= 2^p\|f\|_{p}^{p} + 2^p \|f\|^{p}_{p}\\ &= \int 2^{p+1} |f|^p d\mu \end{align*} Por lo tanto, por el Teorema de Convergencia Dominada Generalizada, $$\|f_n - f\|_{p} \to 0$$