Negación de la definición de continuidad

Question

Me gustaría encontrar la negación de esta afirmación de continuidad de una función $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ en un punto $y$ :

$\forall \epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ , de tal manera que $\forall x$ si | $x-y$ | < $\delta$ entonces | $f(x)- f(y)$ | < $\epsilon$

Por lo tanto, al considerar la negación de esta afirmación querría considerar la negación de los siguientes componentes de la misma:

1. [ $\forall \epsilon > 0$ ] se convierte en [ $\exists \epsilon < 0$ (Estoy un poco confundido porque no( $\forall x, P(x)$ se convierte en $\exists \epsilon$ de manera que no $(P(x))$ pero, ¿la afirmación de que $\epsilon > 0$ se considerará el predicado P( $\epsilon$ ) en este caso? Si es así, supongo que lo que he escrito arriba es correcto).

2. [ $\exists \delta > 0$ ] se convierte en [ $\forall \delta < 0$ ] (razonamiento similar al anterior)

3. [ $\forall x$ ] se convierte en [ $\exists x$ ] (aquí estoy un poco confundido porque veo el cuantificador universal y quiero negarlo en el cuantificador existencial pero la definición de la negación de los cuantificadores incluye un enunciado no del predicado, pero no hay predicado en este componente. $x$ se utiliza en una implicación posterior, que supongo que es una negación separada por sí misma. ¿Es este el pensamiento correcto?)

4. [si $|x-y|$ < $\delta$ entonces $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ ] se convertiría en [ $|x-y| < \delta$ y $|f(x)-f(y)| > \epsilon$ ]. Aquí sólo estoy utilizando la definición de la negación de la implicación, que es $\text{not}(A \Rightarrow B) = (A \text{ and not}(B))$ .

por lo que mi negación de la declaración de continuidad aquí es:

$\exists \epsilon < 0, \forall \delta < 0$ tal que $\exists x, |x-y| < \delta$ y $|f(x)-f(y)| > \epsilon$

Mirando el enunciado en su conjunto parece que los dos primeros componentes sólo deberían tener sus cuantificadores cambiados y no sus desigualdades, pero el resto del enunciado me parece que tiene sentido como descripción de un punto de discontinuidad en la función. ¿Es correcto mi razonamiento? O me estoy perdiendo algo por completo.

Agradezco cualquier ayuda con este problema.

Answer 1

Su argumento es esencialmente correcto, excepto en los puntos 1 y 2, en los que hay un gran malentendido, como ha señalado correctamente paul blart math cop en su comentario. Intentaré ampliar su comentario, para entender por qué no hay que cambiar las desigualdades al principio del enunciado de continuidad cuando lo niegas. No hay magia, por el contrario, es de acuerdo con las reglas lógicas generales.

En general, el negación de una declaración de la forma $\forall x A(x)$ ("cada $x$ tiene la propiedad $A$ ") es una declaración de la forma $\exists x \lnot A(x)$ ("al menos una $x$ no tiene la propiedad $A$ "), tal y como ha afirmado correctamente el OP. Y a su vez, la negación de $\exists x A(x)$ ("al menos una $x$ tiene la propiedad $A$ ") es $\forall x \lnot A(x)$ ("no $x$ tiene la propiedad $A$ ").

La declaración de continuidad de una función $f$ en el punto $y$ es de la forma $\forall \varepsilon > 0, P(\varepsilon)$ para alguna propiedad $P$ . ¿Cuál es la forma lógica $\forall \varepsilon > 0, P(\varepsilon)$ ? Este es el punto que el OP está perdiendo. Para negar correctamente una afirmación de la forma $\forall \varepsilon > 0, P(\varepsilon)$ primero tenemos que entender su verdadera forma lógica .

( Notación. En la lógica, $\to$ representa la implicación (si $\dots$ entonces $\dots$ ), y $\land$ representa la conjunción (y).

Escribir $\forall \varepsilon > 0, P(\varepsilon)$ es sólo una abreviatura de $\forall \varepsilon (\varepsilon > 0 \to P(\varepsilon))$ Esta es su forma lógica real. Así, la negación de $\forall \varepsilon > 0, P(\varepsilon)$ es la negación de $\forall \varepsilon (\varepsilon > 0 \to P(\varepsilon))$ y por lo tanto: \begin{align} & \ \lnot \forall \varepsilon \, (\varepsilon > 0 \to P(\varepsilon)) \\ \equiv& \ \exists \varepsilon \, \lnot (\varepsilon > 0 \to P(\varepsilon)) &&\text{(according to the law of negation of quantifiers seen above)} \\ \equiv& \ \exists \varepsilon \, (\varepsilon > 0 \land \lnot P(\varepsilon)) &&\text{(according to the law of negation of implication, as correctly explained in OP's Point 4)} \end{align}

La última afirmación suele abreviarse como $\exists \varepsilon > 0, \lnot P(\varepsilon)$ , donde $P(\varepsilon)$ es una declaración de la forma $\exists \delta > 0, Q(\varepsilon, \delta)$ cuya forma lógica real es $\exists \delta (\delta > 0 \land Q(\varepsilon, \delta))$ . A partir de $\lnot P(\varepsilon)$ se puede iterar el proceso de interiorización de la negación (según las leyes de la negación para cuantificadores y conectivos). Finalmente, se obtiene el enunciado \begin{align} \exists \varepsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists x \text{ such that } |x -y|< \delta \text{ and } |f(x) - f(y)| \geq \varepsilon \end{align} cuya forma lógica real es \begin{align} \exists \varepsilon \Big(\varepsilon > 0 \land \forall \delta \big(\delta > 0 \to \exists x \, (|x -y|< \delta \land |f(x) - f(y)| \geq \varepsilon) \big) \Big) \end{align}

Comentario aparte. También hay un pequeño error en el punto 4 de la OP. La negación de $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$ es $|f(x) - f(y)| \not< \varepsilon$ . Dado que la orden $>$ en $\mathbb{R}$ es total (es decir, para todos los $x,y \in \mathbb{R}$ , ya sea $x < y$ o $x > y$ o $x = y$ ), alegando que $|f(x) - f(y)| \not< \varepsilon$ equivale a $|f(x) - f(y)| \geq \varepsilon$ y no a $|f(x) - f(y)| > \varepsilon$ , como erróneamente escribió el PO en el punto 4.

Answer 2

Tienes razón en que la negación de $\ \forall x,P(x)\ $ es $\ \exists x,\neg P(x)\ $ y que $\ \epsilon\ $ es una variable libre en el predicado sobre el que se cuantifica. Estrictamente hablando, $\ y\ $ es también una variable libre en ese predicado, por lo que debería ser $\ P(\epsilon,y)\ $ en lugar de sólo $\ P(\epsilon)\ $ pero no hay daño aquí tratando $\ y\ $ como si fuera una constante en lugar de una variable libre y referirse a ella como $\ P(\epsilon)\ $ como tú has hecho.

Ampliación de paul blart math cop La expresión $\ \forall \epsilon>0,P(\epsilon)\ $ es sinónimo de $\ \forall \epsilon, (\epsilon>0)\Rightarrow P(\epsilon)\ $ y $\ \exists\epsilon>0,P(x)\ $ es sinónimo de $\ \exists\epsilon, (\epsilon>0)\wedge P(x)\ $ . Así que aplicando la regla que conoces a la primera expresión, obtienes \begin{align} \neg\forall\epsilon>0,P(\epsilon)&\equiv\neg\forall \epsilon, (\epsilon>0)\Rightarrow P(\epsilon)\\ &\equiv\exists\epsilon,\neg\big((\epsilon>0)\Rightarrow P(\epsilon)\big)\\ &\equiv\exists\epsilon,\neg\big(\neg(\epsilon>0)\vee P(\epsilon)\big)\\ &\equiv\exists\epsilon,\neg\neg(\epsilon>0)\wedge \neg P(\epsilon)\\ &\equiv\exists\epsilon,(\epsilon>0)\wedge \neg P(\epsilon)\ , \end{align} de Las leyes de De Morgan y la definición de implicación material .