Punto fijo de una cartografía de contracción trasladada

Question

Dejemos que $(V,\|\cdot\|,\leq)$ sea un espacio vectorial completo, normado y parcialmente ordenado. Además, sea $F:V\rightarrow V$ sea una contracción, es decir, existe $M\in[0,1)$ con

$$\|\;F(x) - F(y)\;\| \;\leq\; M\;\|\;x-y\;\|$$

para todos $x,y\in V$ .

Intuitivamente, lo siguiente debería ser válido:

Para $m\in V$ con $m\geq 0$ definan la función traducida $$F_{m}:\; V\;\rightarrow\; V,\; x\;\mapsto\; F(x)+m$$ (que también es una contracción) y denotar por $\bar{x}_{m}\in V$ el único punto fijo de $F_{m}$ . Entonces, $$\bar{x}_{0} \;\leq\; \bar{x}_{m} \quad.$$

Lamentablemente, me falta un punto de partida para una prueba rigurosa. Tal vez alguien tenga una buena idea para empezar. Gracias de antemano.

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EDITAR : La respuesta de Noé demuestra que esto no es cierto en general. Pero tal vez alguien tiene una idea para probar la conjetura para el caso $V=\mathbb{R}^{n}$ , $\|\cdot\|$ la norma euclidiana, y $x\leq y$ si $x_{i} \leq y_{i}$ para $i=1,\ldots,n$ (orden de los componentes).

Answer 1

Esto definitivamente no es cierto en general. Tome $V=\mathbb{R} $ con la norma habitual y la ordenación parcial $x\le y$ si $x=0$ o $x=y$ . Esto es claramente reflexivo y antisimétrico, y es transitivo después de un poco de trabajo de caso. Ahora, $f(x)= \frac{1}{2}x +\frac{1}{4} $ es un mapa de contracción con punto fijo $\frac{1}{2} $ pero $f_{\frac{-1}{4}} $ tiene punto fijo $0$ que bajo nuestro ordenamiento parcial no es mayor o igual a $\frac{1}{2} $ .