Aquí @Ian dice que hay una propiedad particular de $\mathbb R$ e intervalos que impiden que una hipotética función continua inyectiva $\mathbb R$ en $[-1, 1]$ de tener una inversa discontinua. ¿En qué consiste esta propiedad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un mapa continuo inyectivo $f$ entre dos intervalos reales es monótona. Si $f$ también es onto, la imagen directa de cualquier intervalo abierto es un intervalo abierto (para la topología inducida en $[-1,1]$ ).
Por lo tanto, la imagen inversa de cualquier intervalo abierto bajo $f^{-1}$ está abierto. Demostrando que $f^{-1}$ es continua.
Tsemo Aristide
Puntos
5203
Tal $f$ no puede existir. Considere $f(x)=1$ , dejemos que $a<x<b$ Supongamos que $f(a)<f(b)$ , $f([a,x])$ es un intervalo ya que la imagen de un conjunto conexo por un mapa continuo es conexa, contiene $f(a)$ y $f(x)=1$ ya que $f(a)<f(b)<1$ contiene $f(b)$ . Existe $c\in [a,x]$ tal que $f(x)=f(b)$ . contradicción.
Si $f(b)<f(a)$ , $f([b,x])$ es un intervalo que contiene $f(a)$ contradicción.
