Aquí $X'$ es un subespacio topológico de $X$ . Si se cumplen las condiciones anteriores, ¿es cierto que $U$ está abierto en $X$ ? Esta es una parte de una prueba que no entiendo del todo.
Respuestas
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Sí. Abierto en abierto es abierto. Desde $U$ está abierto en $X'$ entonces existe un subconjunto abierto $V$ de $X$ tal que $U=X'\cap V$ . El hecho de que $X'$ está abierto en $X$ da que $U$ es una intersección finita de subconjuntos abiertos de $X$ . Así, $U$ está abierto.
En la misma línea, cerrado en cerrado es cerrado.
neurino
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No es necesario demostrarlo porque es sólo la definición de la topología del subespacio, es decir, en la topología del subconjunto de $X'\subseteq X$ , $X$ espacio topológico, los conjuntos abiertos son todas y sólo las intersecciones de cada conjunto abierto de $X$ con $X'$
$$\mathcal{T}_X(X')=\{G'\subseteq X'|~\exists G\in\mathcal{T}(X),G'=G\cap X'\}$$ donde $\mathcal{T}(X)$ es la topología de $X$ y $\mathcal{T}_X(X')$ es la topología del subconjunto de $X'$ inducido por $\mathcal{T}(X)$ .
Lo que hay que demostrar, y probablemente lo que estabas buscando, es el hecho de que tal familia de conjunto $\mathcal{T}_X(X')$ es efectivamente una topología.
Prueba del cierre de $X'$ con respecto a la unión de conjuntos abiertos.
$\forall \mathcal{G}'\in\mathcal{T}_X(X'),~\cup \mathcal{G}'=\cup\{G\cap X'|~\exists G'\in\mathcal{G}',~G'=G\cap X'\}=(\cup\mathcal{G})\cap X'\in\mathcal{T}(X')$
donde $\mathcal{G}=\{G\in\mathcal{T}(X)|~\exists G'\in\mathcal{G}',~G'=G\cap X'\}$ . La última igualdad es válida porque $\cup\mathcal{G}\in\mathcal{T}(X)$ para el cierre de $X$ con respecto a la unión de conjuntos abiertos, y la definición de conjuntos abiertos en $X'$ .
Prueba del cierre de $X'$ con respecto a la intersección de un número finito de conjuntos abiertos.
$\forall G'_1,G'_2\in\mathcal{T}_X(X'),~G'_1\cap G'_2=G_1\cap G_2\cap X'\in\mathcal{T}_X(X')$
donde $G_i\in\mathcal{T}(X)$ tal que $G'_i=G_i\cap X', i=1,2$ . La última igualdad es válida porque $G_1\cap G_2\in\mathcal{T}(X)$ para el cierre de $X$ con respecto a la intersección de conjuntos abiertos finitos y la definición de conjuntos abiertos en $X'$ .
