Prueba $a^2b+b^2c+c^2a \ge\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ si $abc=1$

Question

si $a,b,c$ son números reales positivos que $abc=1 $ Prueba: $$a^2b+b^2c+c^2a \ge\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$$ Información adicional: Sólo debemos utilizar las desigualdades AM-GM y Cauchy.

Cosas que he hecho hasta ahora: para $a^2b+b^2c+c^2a $ Lo mínimo que puedo decir: $$a^4b^2+b^2c^3a + b^2c^3a \ge 3 \sqrt{a^6b^6c^6}=3$$

Así que como esto puedo concluir que: $$(a^2b+b^2c+c^2a)^2=\sum \limits_{cyc}a^4b^2+\sum \limits_{cyc}b^2c^3a + \sum \limits_{cyc}b^2c^3a \ge 27$$

Así que $a^2b+b^2c+c^2a \ge 3\sqrt 3$ . Así que mi idea es demostrar que $3 \ge \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . Y me quedé aquí.

Answer 1

Ampliar $(a^2b+b^2c+c^2a)^2$ y utilizar el hecho de que $abc=1$ para reducirlo y luego factorizar para obtener,

$$ a^2(a^2b^2+2c) + b^2(b^2c^2+2a) + c^2(c^2a^2+2b) $$

Utilizando el hecho $abc=1$ de nuevo,

$$ a^2\left(\frac{1}{c^2}+2c\right) + b^2\left(\frac{1}{a^2}+2a\right) + c^2\left(\frac{1}{b^2}+2b\right) $$

y entonces es fácil demostrar que $\frac{1}{x^2}+2x\geq 3$ para todos $x>0$ .