Determinación del dominio de una función

Question

Cuál es el dominio de: $$\left(\frac{5x+4}{x^2+9x+8}\right)^{1/3}$$

Tengo $(-\infty, -8) \cup (-8,-1) \cup (-1, \infty).$

Pero según Wolfram Alpha es $(-8, -1) \cap [-4/5, \infty)$ .

¿Podría alguien decirme por qué estoy equivocado? La forma en que obtuve mi respuesta es mirando la ecuación y viendo que una raíz cúbica puede ser un número negativo, pero el denominador no puede ser realmente igual a $0$ . Gracias.

Answer 1

Ambos tienen razón. Como una función real, $\left(\frac{5x+4}{x^2+9x+8}\right)^{1/3}$ se define siempre que $\left(\frac{5x+4}{x^2+9x+8}\right)$ se define, es decir, siempre que $x^2+9x+8 \neq 0$ . Ya has encontrado las raíces, $x=-1$ y $x=-8$ .

Sin embargo, como función de valor complejo, existe otro concepto de raíz cúbica, la raíz principal, $x^{1/3} = \exp(\frac{1}{3}\ln(x))$ . Por defecto, wolfram alpha calcula el dominio para la raíz principal, se puede cambiar haciendo clic en "usar la raíz de valor real en su lugar".

Answer 2

Por defecto, Wolfram Alpha interpreta ^(1/3) como el raíz cúbica principal de 3

Lo que quieres calcular es la raíz cúbica real, lo que puedes hacer de esta manera:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28+%285x%2B4%29%2F%28x^2%2B9x%2B8%29+%29^%281%2F3%29&a=^_Real

Ahora incluso wolfram alpha dice que el dominio es $\left\lbrace x : x\neq -8, x\neq -1\right\rbrace$