Árbol de Kurepa delgado en un cardinal de límite fuerte singular de cofinalidad incontable

Question

Para un cardenal de límite fuerte $\kappa$ la noción de $\kappa$ -Árbol de Kurepa es trivial: el árbol binario completo es un $\kappa$ -Árbol de Kurepa. En consecuencia, consideramos el siguiente refuerzo:

A delgado $\kappa$ -Árbol de Kurepa es un árbol $T$ de altura $\kappa$ tal que para cada infinito $\alpha < \kappa$ el $\alpha$ -nivel de $T$ tiene cardinalidad $\left| \alpha \right|$ y $T$ tiene más de $\kappa$ muchas ramas.

Si $\kappa$ es un cardinal límite fuerte de cofinalidad contable, es fácil construir un $\kappa$ -Árbol de Kurepa. Por otra parte, si $\kappa$ es medible (o simplemente inefable), entonces no hay un $\kappa$ -Árbol de Kurepa. Si $\kappa$ es inaccesible, entonces mi entendimiento de los comentarios aquí es que hay un $\mathord{<}\kappa$ -cerrado forzando a crear un delgado $\kappa$ -Árbol de Kurepa (pero esto destruye la mensurabilidad.) ¿Y el caso singular de cofinalidad incontable?

Si $\kappa$ es un cardinal fuerte singular de cofinalidad incontable, ¿puede existir un $\kappa$ -¿Árbol Kurepa?

EDIT: Esto resultó ser bastante fácil; véase mi respuesta más abajo. Sin embargo, me gustaría saber dónde puedo encontrar este resultado demostrado (o al menos mencionado) en la prensa. Así que aceptaré la primera respuesta que me diga esto.

Answer 1

La respuesta es no. Martin Zeman me mostró esta prueba. (Cualquier error fue probablemente introducido por mí).

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal singular de límite fuerte de cofinalidad incontable y sea $T$ sea un árbol de altura $\kappa$ tal que para cada $\alpha < \kappa$ el $\alpha$ -nivel de $T$ tiene cardinalidad $\left|\alpha \right|$ . Demostraremos que $T$ tiene como máximo $\kappa$ muchas ramas cofinales.

Dejemos que $\gamma$ sea la cofinalidad de $\kappa$ y dejar que $(\kappa_\xi : \xi < \gamma)$ sea una secuencia continua creciente de cardinales que es cofinal en $\kappa$ . Para cada $\xi < \gamma$ dejar $(b^\xi_\alpha : \alpha < \kappa_\xi)$ enumerar el $\kappa_\xi$ -nivel de $T$ .

Para cada rama $b$ de $T$ por un argumento de presión hacia abajo hay un subconjunto estacionario $S \subset \gamma$ y un ordinal $\beta < \kappa$ tal que para cada ordinal $\xi \in S$ tenemos $b \restriction \kappa_\xi = b^\xi_\alpha$ para algunos $\alpha < \beta$ .

Así que cada rama está determinada por un subconjunto estacionario $S \subset \gamma$ y una función acotada $S \to \kappa$ y sólo hay $\kappa$ muchas funciones de este tipo.

Answer 2

Lo siguiente está demostrado por Erdos-Hajnal-Milner en `` Sobre conjuntos de subconjuntos casi disjuntos de un conjunto . Acta Math. Acad. Sci. Hungar 19 1968 209-218'', de donde se desprende el resultado requerido

Teorema. ssume $\aleph_0 < cf(\kappa) < \kappa$ y $\forall \theta< \kappa, \theta^{cf(\kappa)} < \kappa.$ Dejemos que $F \subseteq P(\kappa)$ sea tal que $\{\alpha < \kappa: |F \restriction \alpha| \leq \alpha \}$ es estacionario. Entonces $|F| \leq \kappa.$