Proyección estereográfica a través del Polo Sur

Question

Estoy tratando de encontrar el mapa:

$$\psi_2(u,w,v):\mathbb{S}^2\smallsetminus\{0,0,-1\}\rightarrow\mathbb{C}$$

Así que esto es lo que he hecho, dejar $(u,v,w)$ sea un punto de la esfera, y que $(0,0,-1)$ sea el polo sur. La línea entre estos dos puntos puede ser dada por:

$$\mathbf{r}(t)=(u,v,w)t+(1-t)(0,0,-1)$$ $$=(tu,tv,tw-1+t)$$ Ahora bien, si quiero encontrar el punto del plano $z=0$ Tengo que tener: $$tw-1+t=0$$ $$\Rightarrow t=\frac{1}{1+w}$$ Que luego da: $$(x,y)=(\frac{u}{1+w},\frac{v}{1+w})$$ Que se puede asociar con el número complejo: $$z=\frac{u}{1+w}+i\frac{v}{1+w}$$ Sin embargo la wikipedia dice que su mapa debería ser: $$\psi(u,v,w)=\frac{u}{1+w}-i\frac{v}{1+w}$$ Y no puedo entender en qué me equivoqué. Cuando hice lo mismo para la proyección del polo norte obtuve exactamente el resultado que obtuvo la wikipedia. Entonces, ¿en qué me estoy equivocando?

Answer 1

No te has equivocado en los cálculos. El problema, como has identificado, es que los dos mapeos de proyección estereográfica de los polos norte y sur no son holomórficamente compatibles; su composición es la inversión en el círculo unitario, $$ z \mapsto \frac{z}{|z|^{2}} = \frac{1}{\bar{z}}, $$ en lugar del mapa complejo recíproco deseado. Si tomamos la proyección estereográfica del polo norte como una carta holomórfica local, entonces la conjugado complejo de la proyección estereográfica del polo sur es holomórficamente compatible, sin embargo.