Originalmente hice esta pregunta en el Physics Stack Exchange, pero como es más bien una pregunta de matemáticas y ninguno de los físicos de allí fue capaz de responderla, pensé que podría trasladarla aquí.
Estoy tratando de obtener una expresión explícita para la variación de la conexión de giro $\omega_{\mu}^{\ ab}$ con respecto al vierbein $e_\mu^a$ (donde $g_{\mu\nu} = e^a_\mu e^b_\nu \eta_{ab}$ ) en términos de derivadas covariantes de $e_\mu^a$ pero al hacer la variación real termino con una serie de 16 términos que no puedo simplificar más, aunque debería ser posible reescribir la expresión resultante como una suma de derivadas covariantes del vierbein. La identidad resultante es relevante para varios cálculos que involucran espinores en espacios-tiempo curvos y Supergravedad, pero no puedo encontrar un cálculo o resultado similar en ningún lugar para referencia.
Si alguien conoce un buen paquete de Mathematica para tomar derivadas variacionales de la conexión vierbein y spin, también sería muy útil.
Exigiendo que la conexión de espín sea libre de torsión y compatible con la métrica nos da la siguiente restricción $$ \nabla_\mu e_\nu^a = \partial_\mu e_\nu^a + \omega_{\mu\ b}^{\ a} e^b_\nu - \Gamma^{\ \lambda}_{\mu\ \nu} e^a_\lambda = 0 $$ Esto nos permite escribir la siguiente expresión para la conexión de espín en términos del vierbein $$ \begin{align} \omega_{\mu}^{\ ab} =& e^{\nu a} \Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} e^b_\lambda - e^{\nu a} \partial_\mu e_\nu ^{\ b} \\ =& \frac{1}{2} e^{\nu a} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\sigma\nu} + \partial_\sigma g_{\nu\mu} - \partial_\nu g_{\mu\sigma} \right) - e^{\nu a} \partial_\mu e_\nu ^{\ b} \\ =& \frac{1}{2}e^{\nu a}(\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b})-\frac{1}{2}e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a})-\frac{1}{2}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma d}-\partial_\sigma e_{\rho d})e_\mu^{\ d} \\ =& \frac{1}{2} e^{\nu [a} \left( \partial_{\mu} e_{\nu}^{b]} - \partial_{\nu} e_{\mu}^{b]} + e^{b]\sigma}e_\mu^d\partial_\sigma e_ {\nu d} \right) \end{align} $$ donde primero escribí la conexión de Christoffel en términos de la métrica y luego usé esa $g_{\mu\nu} = e^a_\mu e^b_\nu \eta_{ab}$ .
¿Alguien conoce una fuente donde haya una expresión para la siguiente derivada variacional? $$ \frac{\delta \omega_{\mu}^{\ ab}}{\delta e_\mu^a} $$ He intentado calcularlo yo mismo, pero como la expresión anterior tiene cuatro términos bilineales en $e$ y dos términos cuárticos en $e$ , terminará con $2 \times 4 + 4 \times 2 = 16$ términos después de hacer la variación real. Tengo muchos problemas para reescribir esta variación como una expresión ordenada (y no puedo encontrar ninguna referencia que lo mencione). Me gustaría señalar que mi pregunta no es tan conceptual, es una identidad bastante simple que estoy buscando, del tipo que esperaría que estuviera en la última página de la mayoría de los libros sobre Supergravedad (como el de Freedman y Van Proeyen) u otros libros que tratan de la teoría de campos en fondos curvos (ya que es relevante para hacer varios cálculos), sin embargo no la encuentro en ningún sitio.
Como comparación, consideremos la variación de la conexión de Christoffel con respecto a la métrica. $$ \Gamma^\mu_{\nu\rho} = g^{\mu\lambda} \Gamma_{\lambda\nu\rho} = \frac{1}{2} g^{\mu\lambda} \left( \partial_\lambda g_{\nu\rho} + \partial_\nu g_{\rho\lambda} - \partial_\rho g_{\lambda\nu} \right) $$ Al variar esta expresión también se obtiene una larga serie de términos, pero el truco está en ver que se pueden reordenar como derivadas covariantes de la conexión de Christoffel. Supongo que debe haber un truco y una expresión similares para reescribir la variación de la conexión de espín en términos de derivadas covariantes del vierbein. $$ \begin{align} \delta \Gamma^\mu_{\nu\rho} =& \Gamma_{\lambda\nu\rho} \delta g^{\mu\lambda} + g^{\mu\lambda} \delta \Gamma_{\lambda\nu\rho} \\ =& \frac{1}{2}g^{\mu\lambda} \left( \nabla_\lambda \delta g_{\nu\rho} + \nabla_\nu \delta g_{\rho\lambda} - \nabla_\rho \delta g_{\lambda\nu} \right) \end{align} $$
