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Demostración del teorema de Chebyshev

(a) Demuestre que x2π(t)t2dt=px1p+o(1)loglogx.

(b) Que ρ(x) sea el cociente de las dos funciones implicadas en el teorema del número primo:

ρ(x)=π(x)x/logx Demuestre que para ningún δ>0 ¿hay una T=T(δ) tal que ρ(x)>1+δ para todos x>T ni hay un T tal que ρ(x)<1δ para todos x>T . Esto significa que lim para que si \lim \rho(x) existe, debe tener el valor 1 .

No sé cómo aplicar (a) a (b), y no he podido encontrar ninguna fuente relacionada con dicha prueba. ¿Podría darme una prueba al respecto?

4voto

delroh Puntos 56

(a) \to (b). Muestro una mitad de la parte (b), a saber \liminf \rho(x) \leqslant 1 . La otra mitad es análoga.

Supongamos que existe \delta >0 y T \geqslant 2 tal que \rho(t) \geqslant 1+\delta para todos t \geqslant T . Es decir, \pi(t) \geqslant (1+ \delta) \frac{t}{\ln t}, \tag{$ \N - El brindis $} para todos t \geqslant T . Por lo tanto, \begin{align*} \int_2^x \frac{\pi(t)}{t^2} \, dt & \geqslant \int_T^x \frac{\pi(t)}{t^2} \, dt \\ &\stackrel{(\ast)}{\geqslant} \int_T^x (1 + \delta) \frac{t}{\ln t} \cdot \frac{1}{t^2} \, dt \\ &=(1 + \delta) \int_T^x \frac{1}{t \, \ln t} \, dt \\ &= (1 + \delta) \cdot \left. \ln \ln t \right\vert_{t=T}^{t=x} \\ &= (1 + \delta) \cdot (\ln \ln x - \ln \ln T) \\ &\sim (1 + \delta) \cdot \ln \ln x, \end{align*} para grandes x . Esto contradice claramente la parte (a). Por lo tanto, se deduce que \liminf \rho(x) \leqslant 1 .

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