Yo soy un físico, y como físico, me han demostrado la siguiente igualdad: $$ \int_0^\infty \left (\int_0^\infty f(k) k \pecado kr \,dk \right) dr = \int_0^\infty f(k) dk, $$ donde $f$ es una rápida descomposición de la función o incluso un Schwartz función. El método es el siguiente: intercambiando el orden de integración se obtiene: \begin{align*} &\int_0^\infty \left (\int_0^\infty f(k) k \sin kr \,dk \right) dr = -\int_0^\infty f(k)\left (\int_0^\infty \partial_r\cos kr\, dr \right) dk = \\ & -\int_0^\infty f(k)\Big |\cos kr \Big |_{r=0}^{r=\infty} dk = \int_0^\infty f(k)\, dk - \lim_{r\to \infty} \int_0^\infty f(k)\cos kr \,dk. \end{align*} El límite es nulo debido a una simple generalización de la de Riemann-Lebesgue lema. Sin embargo no estoy seguro de que las condiciones para el teorema de Fubini están satisfechos y que intercambiando el orden de integración es permitido.
Puede alguien me sugieren cómo el resultado anterior puede ser rigurosamente probado o refutado?
*EDITAR Después de una interacción con Patrick Da Silva tenía esta idea: conjunto de
$$ \int_0^\infty \left (\int_0^\infty f(k) k \pecado kr \,dk \right) dr =\lim_{R \to \infty} \int_0^R \left (\int_0^\infty f(k) k \pecado kr \,dk \right) dr. $$ Ahora la integral con $R$ satisface las condiciones de Fubini, y se realiza el cálculo como en el anterior. Es correcto?
