Localización en ideales primos en anillos regulares de von Neumann

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo regular conmutativo de von Neumann, es decir, para todo $r$ en $R$ existe un $s$ en $R$ tal que $r = r^{2}s$ . Para cada ideal primo $\mathfrak{p}$ , $R/\mathfrak{p} \cong R_{\mathfrak{p}}$ . ¿Cuál es el mapa que induce este isomorfismo?

Answer 1

Dejemos que $\lambda:R\to R_\mathfrak{p}$ sea el mapa de localización.

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Reclamación: $\lambda$ es suryente.

Prueba: Basta con demostrar que $\lambda(t)^{-1}\in\operatorname{im}(\lambda)$ para cualquier $t\in R\setminus\mathfrak{p}$ . De hecho, cada elemento de $R_\mathfrak{p}$ es de la forma $\lambda(r)\lambda(t)^{-1}$ para algunos $r\in R$ y $t\in R\setminus\mathfrak{p}$ y si $\lambda(s)=\lambda(t)^{-1}$ entonces $\lambda(r)\lambda(t)^{-1}=\lambda(rs)\in\operatorname{im}\lambda$ .

Así que arreglar $t\in R\setminus\mathfrak{p}$ . Por hipótesis, existe $s\in R$ con $t=t^2s$ , es decir, con $(1-ts)t=0$ . Desde $t\notin\mathfrak{p}$ Esto significa que $1-ts\in\operatorname{ker}(\lambda)$ para que $1=\lambda(1)=\lambda(ts)=\lambda(t)\lambda(s)$ De ahí que $\lambda(s)=\lambda(t)^{-1}$ , según se desee. $\blacksquare$

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Reclamación: $\operatorname{ker}\lambda=\mathfrak{p}$ .

Prueba: Para la inclusión $\supseteq$ , arreglar $p\in\mathfrak{p}$ . Por hipótesis, existe $s\in R$ con $(1-ps)p=0$ . Desde $ps\in \mathfrak{p}$ tenemos $1-ps\notin\mathfrak{p}$ De ahí que $\lambda(p)=0$ , según se desee.

Para la inclusión $\subseteq$ Supongamos que $\lambda(r)=0$ para algunos $r\in R$ entonces existe $t\in R\setminus\mathfrak{p}$ con $tr=0$ . Entonces, en particular $tr\in\mathfrak{p}$ ; ya que $\mathfrak{p}$ es primo y $t\notin\mathfrak{p}$ Esto obliga a $r\in\mathfrak{p}$ , según se desee.

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Ahora por la primera de Noether teorema del isomorfismo hemos terminado.