Convergencia de una suma a $e^{-1/2}$ ?

Question

Tengo esta suma: $\displaystyle \sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-m} \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^k}{k!} \exp \left(\frac{3 (m+k)-2 (m+k)^2}{n}\right)$ . Tengo la sospecha de que converge a $e ^{-1/2}$ para todos $ m=1,2....$ cuando $n \rightarrow \infty$ pero no ha podido demostrarlo. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

La afirmación es cierta.

Dejemos que $S_{-1} = 0$ y $S_n$ sea la suma parcial $\displaystyle\;\;\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(-\frac12)^k\;\;$ para $n \ge 0$ .
Dejemos que $\alpha_{n,k}$ sea la doble secuencia definida por

$$\alpha_{n,k} = \begin{cases} \exp\left(\frac{3(m+k)-2(m+k)^2}{n}\right), & 0 \le k \le \frac{n}{2} - m\\ \\ 0, & k > \frac{n}{2} - m. \end{cases}$$

Para cada $n$ El $n^{th}$ de la secuencia que nos interesa se puede reescribir como

$$ \sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-m} \frac{1}{k!}(-\frac12)^k \alpha_{n,k} = \sum_{k=0}^{\infty} (S_k - S_{k-1})\alpha_{n,k} = \sum_{k=0}^{\infty} S_k (\alpha_{n,k} - \alpha_{n,k+1})$$

Mientras $m > \frac14$ es fácil de comprobar $a_{n,k}$ es una secuencia decreciente no negativa en $k$ para el fijo $n$ .
Lo tenemos:

1. Para los fijos $n$ , $\displaystyle\quad\sum_{k=0}^{\infty} |\alpha_{n,k} - \alpha_{n,k+1}| = \alpha_{n,0} = e^{(3m-2m^2)/n} \le \max( e^{3m-2m^2}, 1 ) < \infty.$

2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{\infty} (\alpha_{n,k} - \alpha_{n,k+1}) =\lim_{n\to\infty} a_{n,0} = \lim_{n\to\infty} e^{(3m-2m^2)/n} = 1.$

3. Para los fijos $k$ , $\displaystyle\quad\lim_{n\to\infty} (\alpha_{n,k}-\alpha_{n,k+1}) = 1 - 1 = 0.$

La doble secuencia $\alpha_{n,k}-\alpha_{n,k+1}$ cumple las condiciones para Teorema de Silverman-Toeplitz y por lo tanto

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{\infty}S_k(\alpha_{n,k}-\alpha_{n,k+1}) = \lim_{k\to\infty} S_k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}(-\frac12)^k = e^{-1/2}$$

Notas

Utilizar Silverman-Toeplitz no es la forma más eficiente de demostrar la afirmación. Hay un teorema

Teorema de convergencia dominante para series

Dejemos que $\beta_{n,k}$ sea una secuencia doble y $b_k$ , $d_k$ sean dos secuencias tales que

1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \beta_{n,k} = b_k$ existe para cada $k$ .
2. Por cada $n$ y $k$ , $|\beta_{n,k}| < d_k$ y $\displaystyle\;\sum_{k} d_k < \infty$ .

es decir, las filas de la doble secuencia $\beta_{n,k}$ están dominados por una única secuencia no negativa $d_k$ que tiene una suma finita. Entonces

$$\sum_{k} b_k = \sum_{k} \lim_{n\to\infty} \beta_{n,k} = \lim_{n\to\infty} \sum_{k}\beta_{n,k}$$

Se puede comprobar

$$\begin{align} \beta_{n,k} = & \frac{1}{k!}(-\frac12)^k \alpha_{n,k}\\ b_k = & \frac{1}{k!}(-\frac12)^k\\ d_k = & \frac{1}{k! 2^k} \max( e^{3m-2m^2}, 1 ) \end{align} $$ satisface la condición anterior de "DCT para series" y la afirmación se deduce inmediatamente. No puedo encontrar ninguna página de la wiki para este "DCT para series" pero aquí hay una prueba Lo encuentro en línea.