Marcos en $L^2$ .

Question

Fijar $0<\beta<1$ y para todos $f \in L^2(\mathbb{T})$ , donde $\mathbb{T}= [0,1)$ mostrar que tenemos:

1. $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} |\langle f, e^{2 \pi i n \beta x}\rangle|^2 = \frac{1}{\beta} \|f\|_2^2, $$
2. $$ f = \beta \sum_{n \in \mathbb{Z}} \langle f, e^{2 \pi i n \beta x}\rangle e^{2 \pi i n \beta x}.$$

Esta pregunta está un poco inspirada en esta otra aquí . Ahora me parece que el espíritu de este problema es tratar de reducir el conjunto de $\{e^{2 \pi i n \beta x}\}$ al conjunto $\{e^{2 \pi i n x}\}$ a través de algunos cambios a varibles. La razón por la que nos gustaría hacer esto es porque estamos familiarizados con todo en $L^2(\mathbb{T})$ en términos de $\{e^{2 \pi i n x}\}$ . Sin embargo, parece que no puedo encontrar la elección correcta de las variables para reducir esto agradablemente, se vuelve bastante desordenado.

No estoy seguro de la dirección que debo tomar, se agradece cualquier ayuda.

¡Gracias! :)

Answer 1

Para cualquier $f \in L^2(\mathbb{T})$ tenemos $f = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \langle f, e_n\rangle e_n $ donde $e_n(x) = e^{2\pi i n x}$ y $\langle f, g\rangle = \langle f, g \rangle_{L^2[0,1]} $ . Definir $D_{\beta}f(x) := f(\beta x)$ . Mostraremos

$$ f = \beta \sum_{n \in \mathbb{Z}} \langle f, e_{\beta n} \rangle e_{\beta n} $$ Esta es la segunda afirmación de tu post. La primera afirmación se deduce fácilmente de la segunda tomando el producto interior con $f$ . Sea $\bar{f} := \chi_{[0,\beta]}(D_{1/\beta }f)$ . Entonces \begin{align} \int_0^1 |\bar{f}(x)|^2 & = \int_0^{\beta} |f(\frac{x}{\beta} )|^2 \ dx \\ & = \beta \int_0^1 |f(u)|^2 du \\ & < \infty \end{align}

así que $\bar{f} \in L^2[0,1]$ . Por lo tanto, podemos expresar $\bar{f}$ como una serie de Fourier $\bar{f} = \sum \langle \bar{f}, e_n \rangle e_n $ . Obsérvese que

\begin{align} \langle \bar{f} , e_n \rangle = & \langle D_{1/\beta} f, e_n \rangle_{L^2[0,\beta]} \\ & = \beta \langle f , e_{\beta n}\rangle _{L^2[0,1]} \end{align}

Por último, tenemos $(D_{\beta} \bar{f}) = f$ . Por lo tanto, tenemos

\begin{align} \bar{f} & = \beta \sum \langle e_{\beta n}, f\rangle _{} e_{ n} \\ \text{applying} \ D_{\beta}\Longrightarrow f & = \beta \sum \langle e_{\beta n}, f\rangle _{} e_{\beta n} \end{align}

Hay una sutileza aquí en que necesitas $D_{\beta}: L^2[0,1] \to L^2[0,1] $ sea un operador continuo, pero verificar esto debería ser sencillo.