Grupo fundamental de $D^2\setminus\{x\}$

Question

Dejemos que $D^2=\{x\in\mathbb{R}^2:\|x\|\le1\}$ , $x\neq a\in D^2$ . Encuentre $\pi_1(X\setminus\{x\},a)$ si:

a. $x\in\partial D^2$

b. $x\in \text{int} D^2$

sobre el primero creo que el grupo fundamental es trivial (significa un singleton $\{a\}$ ) pero no sé cómo puedo probarlo.

sobre el segundo, parece claro que después de quitar el punto del interior, es homotópico a $S^1$ (del que se conoce su grupo fundamental) pero no encuentro (por ejemplo) una retracción que envíe el disco con agujero en el interior a $S^1$ .

Entonces, ¿qué homomorfismo entre $\pi_1(D^2\setminus\{x\})\to\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ ¿Cómo puedo definir una retracción de deformación entre $D^2\setminus\{x\}$ donde $x\in\text{int}D^2$ y $S^1$ ?

Answer 1

(a) Observe que su región es contraíble (de hecho, con forma de estrella).

(b) Observe que $S^1$ puede identificarse con el límite de $D^2$ . Así, podemos imaginar una homotopía de $D^2 - \{x\}$ a $S^1$ tirando más ampliamente del "agujero" en $x$ una forma de hacerlo precisamente es proyectando radialmente desde $x$ en $S^1$ .