¿Investigación actual sobre la equivalencia inversa de los nudos?

Question

¿Cuál es la situación actual del problema abierto en la teoría de los nudos "Cuándo un nudo es equivalente a su inverso"?

Además, me gustaría saber qué trabajos se han realizado sobre este problema (no encuentro nada al respecto además del nombre del problema al buscar en google), y cualquier información que incluya explicaciones sobre el mismo. Gracias.

Answer 1

Un nudo se llama anfíctico si es isotópico a su espejo y quiral en caso contrario.

http://mathworld.wolfram.com/AmphichiralKnot.html es quizás un buen punto de partida. El resultado de Jones en el fondo es un obstáculo bastante fuerte.

Kauffman, Murasugi (de forma independiente) y Thistlewaite (también de forma independiente) demostraron en 1987 que para un nudo alterno $K$ con un número impar de cruces el polinomio de Jones de $K$ no es igual al polinomio de Jones de su espejo $-K$ .

En general, los únicos ejemplos de nudos que se conocen que son concordantes lisa o topológicamente con sus espejos son anfícticos o cortados y muchos invariantes de concordancia pueden obstruir naturalmente la anfíctica. Recordemos que un nudo $K$ es concordante con $K'$ si $K\#-K'$ limita un disco suavemente cortado en la bola 4, y que $K \# -K$ siempre limita un disco de este tipo (de hecho este disco es de cinta). Por tanto, una condición necesaria para la anfiquiralidad es que $K\#K$ para ser suavemente rebanada. Así que si $\nu$ es un invariante de concordancia que es aditivo bajo la suma de la conexión y un límite inferior en el género suave de cuatro ( $\nu(K) \leq g_4(K)$ ), entonces si $\nu(K)>0$ , $K$ debe ser quiral.

Por ejemplo, si un nudo admite un representante legendario con $tb(K)+|r(K)|+1>0$ entonces $K$ ni siquiera puede ser concordante con su espejo, de lo contrario $K\#K$ sería la tajada y sin embargo violaría la desigualdad de adjunción (en otras palabras, el máximo de $(tb(K)+|r(K)|+1)/2$ es un $\nu$ ). Se pueden obtener obstrucciones similares a partir de otros invariantes de concordancia aditivos como el de Rassmussen $s$ -(convenientemente normalizada) y la de Ozvath-Szabo $\tau$ -invariante, y todos ellos demuestran, por ejemplo, que cualquier nudo toroidal no trivial es quiral.

Answer 2

También es útil ver las trenzas aquí. Por ejemplo, el número máximo de autoenlace de un enlace anfíctico es igual al negativo del índice mínimo de la trenza.

( Nota: El número de autoenlace de una trenza $\beta$ es $sl(\beta)=w(\beta)-n(\beta)$ , donde $w$ es el retorcimiento del diagrama de la trenza y $n$ es el índice de la trenza. Entonces obtenemos un invariante del nudo $\overline{sl}(K)$ tomando el mayor $sl(\beta)$ entre todos los representantes de la trenza de $K$ .)

Por un trabajo algo reciente de Dynnikov-Prasolov (y trabajo independiente de LaFountain-Menasco utilizando la teoría de las trenzas), resulta que un índice mínimo de trenzas representativo de un enlace siempre alcanza el número máximo de autoenlace. Si $\beta$ realiza el índice de trenzado mínimo para un nudo anfíctico $K$ entonces también lo hace el espejo $m(\beta)$ . Esto implica \begin{align*}\overline{sl}(K)&= sl(\beta)=w(\beta)-n(\beta)\\ \overline{sl}(K)&=sl(m(\beta))=w(m(\beta))-n(m(\beta))=-w(\beta)-n(\beta).\end{align*} De ello se desprende que $w(\beta)$ es igual a cero o, lo que es lo mismo, que $\overline{sl}(K)$ es igual a $-n(\beta)$ .