Suma de series finitas utilizando fracciones parciales

Question

Estoy bastante atascado con el siguiente problema. He visto en este foro que ya hay una respuesta para la suma infinita del problema, pero no puedo encontrar cómo encontrar la suma para un valor finito.

La primera parte de la pregunta pide transformar la serie dada usando fracciones parciales, lo cual hice de la siguiente manera:

$$ \frac{1}{k(k + 2)} $$

Lo cual se convierte en:

$$ \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}\right) $$

Ahora la pregunta pide evaluar la suma finita:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}\right) $$

He intentado expandir la suma y he podido cancelar algunos términos, pero no puedo encontrar una solución correcta al final. ¿Alguien tiene alguna idea o método sobre cómo evaluar estas sumas después de reescribirlas usando fracciones parciales?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Por ejemplo, con $n = 10$ tenemos $$ \sum_{k=1}^n \frac1k - \frac 1{k+2} = \\ \left(1 - \frac 13 \right) + \left(\frac12 - \frac 14 \right) + \left(\frac13 - \frac 15 \right) + \cdots + \left(\frac 18 - \frac 1{10} \right) + \left(\frac19 - \frac 1{11} \right) + \left(\frac1{10} - \frac 1{12} \right) =\\ 1 + \frac 12 + \left(\frac13 - \frac 1{3} \right) + \cdots + \left(\frac1{10} - \frac 1{10} \right) - \frac 1{11} - \frac 1{12}. $$ Para un enfoque más formal, observe que $$ \sum_{k=1}^n \frac1k - \frac 1{k+2} = \sum_{k=1}^n \frac1k - \sum_{k=1}^n \frac 1{k+2} = \sum_{k=1}^n \frac1k - \sum_{k=3}^{n+2} \frac 1{k}\\ = \left(1 + \frac 12 + \sum_{k=3}^n \frac1k\right) - \left(\frac1{n+1} + \frac 1{n+2} + \sum_{k=3}^n \frac1k\right). $$

Answer 2

$$ \eqalign{ & S = \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {k\left( {k + 2} \right)}}} \cr & 2S = \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over k} - {1 \over {k + 2}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over k}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {k + 2}}} = \cr & = \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over k}} - \sum\limits_{k = 3}^{n + 2} {{1 \over k}} = \sum\limits_{k = 1}^2 {{1 \over k}} - \sum\limits_{k = n + 1}^{n + 2} {{1 \over k}} = \cr & = 1 + {1 \over 2} - {1 \over {n + 1}} - {1 \over {n + 2}} = {3 \over 2} - {{2n + 3} \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \cr} $$