¿Por qué podemos hacer estas operaciones sin cambiar el sistema original?

Question

Me dieron la matriz: $$\left[\begin{matrix}1&3&0&-2&-7\\0&1&0&3&6\\0&0&1&0&2\\0&0&0&1&-2\end{matrix}\right]$$ And I was told to continue the row operations to solve the solution for the original system. So for the first step I subtracted $3R_4$, where $R_4$ is row $4$, to get rid of the $x_2$ in the original system. To get: $$\left[\begin{matrix}1&3&0&-2&-7\\0&1&0&0&12\\0&0&1&0&2\\0&0&0&1&-2\end{matrix}\right]$$ Entonces lo que hice fue $R_1-3R_2$ para deshacerse del $x_2$ :

$$\left[\begin{matrix}1&0&0&-2&-43\\0&1&0&0&12\\0&0&1&0&2\\0&0&0&1&-2\end{matrix}\right]$$ Por último $R_1+2R_4$ para deshacerse del $x_4$ en $R_1$

$$\left[\begin{matrix}1&0&0&0&-47\\0&1&0&0&12\\0&0&1&0&2\\0&0&0&1&-2\end{matrix}\right]$$ Tengo curiosidad por saber por qué fueron capaces de hacer esto a una matriz. Parece que estas manipulaciones a las filas lo haría diferente. Es extraño para mí que podemos añadir una constante veces otra fila para obtener una nueva fila de reemplazo. ¿Hay alguna teoría detrás de esto, o es tan simple que podemos cambiarla?

Editar: He cambiado la pregunta de "¿He hecho esto bien?" a "¿Por qué podemos hacer esto?" sólo para que no haya confusión sobre los comentarios actuales.

Answer 1

Sí, tienes razón. Es correcto :)

Answer 2

Podemos añadir un múltiplo constante ( $k$ ) de una fila a otra sin cambiar las soluciones del sistema porque $A=B$ y $C=D$ si y sólo si $A+kC=B+kD$ y $C=D$ .

Del mismo modo, podemos multiplicar una fila por $k\neq 0$ sin cambiar las soluciones porque $A=B$ si y sólo si $kA=kB$ .

Answer 3

Respuesta a la parte de la pregunta "por qué" funciona. Hay tres tipos de lo que se llama operaciones elementales de fila en una matriz aumentada para resolver un sistema de ecuaciones lineales de esta forma.

Son

1. Intercambiar dos filas. (no es necesario para su pregunta). Para deshacer esto, en la nueva matriz sólo hay que intercambiar las mismas dos filas para volver a la matriz original.

2. Multiplicar una fila por una constante no nula. (no es necesario para tu pregunta). Para deshacer esto, en la nueva matriz divide la misma fila por esa constante para volver a la matriz original.

3. Añade un múltiplo de una fila, digamos la fila i, de otra fila, digamos la fila j. (lo has hecho correctamente dos veces). Para deshacer esto, resta el mismo múltiplo de la nueva fila i de la nueva fila j.

Como puedes deshacer cada una de estas operaciones y las filas representan ecuaciones lineales, todas las matrices que produzcas corresponderán a sistemas lineales de ecuaciones con las mismas soluciones que el sistema original.