Operadores diferenciales dentro de conmutadores

Question

Empecé a aprender QED y me estoy abriendo camino a través de la literatura introductoria. Me encontré con un problema en una sección que deriva el conmutador entre los campos, $\left[A_i(x);E^j(y) \right] $ . Trabajando en el calibre de Coulomb, citan una conjetura ingenua:

$$\left[A_i(\vec x),E^j(\vec y) \right] = i\delta^j_i\delta(\vec x-\vec y)$$

Pero luego se argumenta que queremos $\nabla\cdot \vec{A} = \nabla \cdot \vec{E} = 0$ para sostener, por lo que definitivamente debería tener:

$$\left(\nabla\cdot \vec{A} \right) \left(\nabla \cdot \vec{E}\right) - \left(\nabla \cdot \vec{E}\right) \left(\nabla\cdot \vec{A} \right) = \left[\nabla\cdot \vec{A} , \nabla \cdot \vec{E} \right] = 0$$

pero luego usando el conmutador ingenuo obtenemos

$$\left[\nabla\cdot \vec{A}(\vec x) , \nabla \cdot \vec{E}(\vec y) \right] = i\nabla^2\delta(\vec{x}-\vec{y}) \neq 0$$

Ahora bien, no veo muy bien cómo se mantiene la última igualdad. No estoy seguro de qué hacer con los operadores diferenciales en mi conmutador. Normalmente trataría de algo a lo largo de las líneas de:

$$[\partial_x \phi(x),\psi(y)] = \partial_x[\phi(x),\psi(y)] + [\partial_x,\psi(y)]\phi(x) = \partial_x[\phi(x),\psi(y)] + 0$$

Donde el segundo término desaparece ya que todas las derivadas están en $x$ . Pero si intento hacer algo similar aquí obtengo algo como:

$$\left[\nabla\cdot \vec{A}(\vec x) , \nabla \cdot \vec{E}(\vec y) \right]=\nabla\cdot\left[ \vec{A}(\vec x) , \nabla \cdot \vec{E}(\vec y) \right] =\nabla_y\cdot \left(\nabla_x \cdot\left[ \vec{A}(\vec x) , \vec{E}(\vec y) \right]\right) $$ (Pongo los subíndices en la última línea para que quede claro qué operador actúa sobre qué variable)

Y claramente algo va mal cuando intento sacar el segundo operador de divergencia. ¿Dónde me estoy equivocando con esto? ¡Gracias por tu tiempo!

Answer 1

Si va a tener $$ \left[A_i(\vec x),\,E^j(\vec y) \right] = i\delta^j_i\delta(\vec x-\vec y) $$ y $\nabla\cdot A=\nabla\cdot E=0$ , entonces también debe tener $$ \begin{aligned} i\nabla_x^j\delta(\vec x-\vec y)&=i\nabla^i_x\delta_i^j\delta(\vec x-\vec y) \\&=\nabla^i_x\left[A_i(\vec x),\,E^j(\vec y) \right] \\&=\left[\nabla^i_xA_i(\vec x),\,E^j(\vec y) \right] \\&=\left[0,\,E^j(\vec y) \right] \\&=0 \end{aligned} $$ una contradicción.

El único paso "no trivial" en la manipulación anterior es $\nabla^i_x\left[A_i(\vec x),\,E^j(\vec y) \right]=\left[\nabla^i_xA_i(\vec x),\,E^j(\vec y) \right]$ . Convénzase de que es una manipulación correcta (porque el $\nabla_x$ sólo actúa sobre funciones de $x$ como se indica en el subíndice).

Tenga en cuenta que para este argumento, sólo utilizamos $\nabla\cdot A=0$ . Ni siquiera necesitamos usar la segunda condición, $\nabla\cdot E=0$ para llegar a una contradicción.