Tensor de torsión y no-metricidad en una superficie

Question

En la geometría diferencial de superficies, ¿cómo se puede definir un tensor de torsión distinto de cero? Parece que la conexión que proporciona tiene que ser siempre simétrica ya que, por definición, $$\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}\equiv \mathbf{a}^{\gamma}\cdot\mathbf{a}_{\alpha,\beta}=\mathbf{a}^{\gamma}\cdot\mathbf{r}_{,\alpha\beta}=\mathbf{a}^{\gamma}\cdot\mathbf{r}_{,\beta\alpha}=\Gamma^{\gamma}_{\beta\alpha},$$ donde $\mathbf{r}:U\to\mathbb{R}^3$ , $U\subset\mathbb{R}^2$ , es un incrustado $C^3$ superficie con parametrización $(\theta^1,\theta^2)\in U$ , $\mathbf{a}_\alpha\equiv\mathbf{r}_{,\alpha}$ son los vectores tangentes a las curvas de coordenadas $\theta^\alpha$ , $\alpha=\{1,2\}$ y $\mathbf{a}^\gamma$ es el covector de $\mathbf{a}_\alpha$ .

Esta definición también implica que la conexión es Levi-Civita, es decir, compatible con la métrica: $$\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}a^{\gamma\lambda}(a_{\beta\lambda,\alpha}+a_{\gamma\alpha,\beta}-a_{\alpha\beta,\lambda}),$$ lo que significa que la derivada covariante del tensor métrico será automáticamente cero. Por lo tanto, tampoco existe un tensor de no-metricidad no nulo.

La existencia del tensor de torsión y del tensor de no-metricidad no nulos es importante en los estudios de los defectos en los cristales bidimensionales porque en el modelo continuo representan ciertas densidades de defectos.

Answer 1

Para una conexión lineal $ \nabla : \mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}(M) $ , dados los campos vectoriales $ X,Y \in \mathfrak{X}(M) $ El tensor de torsión es $ (2,0) $ campo tensorial dado por $$ \tau(X,Y) = \nabla_X(Y)-\nabla_Y(X) -[X,Y] $$ La simetría de la conexión equivale a $ \tau (X,Y) = 0 $ para todos $ X,Y \in \mathfrak{X}(M) $ . No entiendo exactamente tu notación, pero lo que has referido como "por definición" es probablemente cierto sólo para los símbolos de Christoffel correspondientes a la conexión Levi-civita que es efectivamente simétrica.